[논문 리뷰] On fully mixed and multidimensional extensions of the Caputo and Riemann-Liouville derivatives, related Markov processes and fractional differential equations

Vassili N. Kolokoltsov|arXiv (Cornell University)|2015. 01. 16.

Fractional Differential Equations Solutions참고 문헌 45인용 수 40

한 줄 요약

이 논문은 경계에서 차단된 레비 과정의 생성자로 해석되는 확률적 프레임워크를 통해 캡투와 리만-리오비레 분수도의 완전히 혼합되고 다차원적인 확장 방식을 제안한다. 마르코프 과정의 경계 차단 역학을 이용하여 관련 분수적 미분 방정식의 잘 정의됨을 입증하고, 확률적 분석을 통해 이전 결과들을 통합하고 일반화하며, β ≤ 1인 경우에 대해 명시적인 해를 제공한다.

ABSTRACT

From the point of view of stochastic analysis the Caputo and Riemann-Liouville derivatives of order $\al \in (0,2)$ can be viewed as (regularized) generators of stable L\'evy motions interrupted on crossing a boundary. This interpretation naturally suggests fully mixed, two-sided or even multidimensional generalizations of these derivatives, as well as a probabilistic approach to the analysis of the related equations. These extensions are introduced and some well-posedness results are obtained that generalize, simplify and unify lots of known facts. This probabilistic analysis leads one to study a class of Markov processes that can be constructed from any given Markov process in $\R^d$ by blocking (or interrupting) the jumps that attempt to cross certain closed set of 'check-points'.

연구 동기 및 목표

• 확률적 해석을 바탕으로 고전적 분수도를 완전히 혼합되고 다차원적인 확장으로 일반화하는 것.
• 확률적 분석을 통해 기존의 분수적 미분 방정식 결과들을 통합하고 단순화하는 것.
• 경계에서 차단된 마르코프 과정을 통해 분수적 방정식의 잘 정의됨에 대한 엄밀한 프레임워크를 구축하는 것.
• 순서 β ≤ 1인 도수를 포함하는 방정식에 대해 명시적인 해를 확립하는 것.
• R^d에서 닫힌 점검점 집합을 가로질러 뛰는 점프를 차단함으로써 구성된 마르코프 과정 이론을 시작하는 것.

제안 방법

• 순서 α ∈ (0,2)인 캡투 및 리만-리오비레 도수를, 경계를 횡단할 때 차단되는 안정 레비 운동의 정규화된 생성자로 해석한다.
• 닫힌 점검점 집합을 가로질러 뛰는 점프를 차단함으로써 R^d에서의 마르코프 과정의 일족을 도입하여 경계 차단 역학을 일반화한다.
• 다인킨의 마틴게일 공식과 페이러 과정 이론을 사용하여 경계 문제에 대한 잘 정의됨 결과를 도출한다.
• A 및 Â[a,b] 연산자에 대한 확률적 미적분을 적용하며, ν(x,y)는 모멘트 및 정규성 조건을 만족하는 점프 밀도로 간주한다.
• 분부분 인테그레이션을 통해 분수도의 등가 적분 표현을 유도하고, 해석적 형태와 확률적 형태를 연결한다.
• ν와 경계 탈출 확률에 대한 부드러움 및 단조성 가정 하에 λ = 0인 방정식에 대해 일반해와 고전해의 유일성을 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 확률 원리에 기반해 캡투 및 리만-리오비레 도수를 완전히 혼합되거나 양방향 또는 다차원 설정으로 자연스럽게 어떻게 확장할 수 있는가?
• RQ2 경계 차단은 일반화된 분수도 및 관련 확률 과정을 정의하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ3 경계에서 차단된 레비 과정을 나타내는 연산자가 유일한 페이러 과정을 생성하는 조건은 무엇인가?
• RQ4 순서 β ≤ 1인 분수적 미분 방정식의 해는 경계에서의 탈출 분포와 전이 커널과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ5 이러한 확장된 도수를 포함하는 경계값 문제에 대해 명시적 해를 유도할 수 있는가?

주요 결과

• β ∈ (0,1)일 때, 캡투 도수 Dβ_{a+}⋆f(x)는 f − f(a)의 리만-리오비레 도수와 같으며, f(a)/(Γ(1−β)(x−a)^β)를 포함하는 경계 보정 항으로 차이가 난다.
• β ∈ (1,2)일 때, 캡투 도수에는 두 번째 차수의 정규화 항이 포함되며, Dβ_{a+}⋆f(x) = Dβ_{a+}[f − f(a) − f′(a)(·−a)](x)에서 경계 보정 항을 뺀 형태로 표현된다.
• a = −∞ 이고 f가 부드럽고 유계이며 적분 가능할 경우, 우측 분수도 dβ/dxβ f(x)는 Dβ_{−∞+}f(x)와 Dβ_{−∞+}⋆f(x)의 공통 값과 같으며, f(x−z)−f(x) 또는 f(x−z)−f(x)+f′(x)z를 포함하는 적분 형태로 주어진다.
• ν(x,y)에 대한 정규성 및 단조성 조건 하에서, [a,b]에서 정의된 연산자 Â[a,b]는 페이러 과정을 생성하며, 관련 SDE에 대해 유일한 강한 해가 존재한다.
• 탈출 확률 P(Xx(τ) ≤ a) 및 P(Xx(τ) ≥ b)가 C²[a,b]에 속하고 커널 H(x,dy)가 약한 미분 가능할 경우, 식 (91)은 λ = 0인 경계값 문제에 대해 유일한 고전해를 제공한다.
• 고전해의 정규성 조건이 없더라도, 식 (91)은 λ = 0인 문제에 대해 유일한 일반해를 제공하며, 이 방법의 적용 범위를 확장한다.