[논문 리뷰] On functions taking only prime values

Zhi‐Wei Sun|arXiv (Cornell University)|2012. 02. 29.

Analytic Number Theory Research참고 문헌 20인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 다항식 수열에서 모듈로의 서로 다른 값 조건을 통해 소수만 생성하는 새로운 수론적 함수를 소개한다. 특히, $2k(k-1) \mod m$ 형태의 표현들이 상호소수인 최소 모듈로 $m$이 $2n-2$보다 큰 가장 작은 소수임을 증명하며, 이는 이차 및 선형 형식에 대한 모듈로 산술 제약 조건을 통해 소수를 새로운 이론적 특성으로 기술한다.

ABSTRACT

For n=1,2,3,... define S(n) as the smallest integer m>1 such that those 2k(k-1) mod m for k=1,...,n are pairwise distinct; we show that S(n) is the least prime greater than 2n-2 and hence the value set of the function S(n) is exactly the set of all prime numbers. For every n=4,5,... we prove that the least prime p>3n with 3|p-1 is just the least positive integer m such that 18k(3k-1) (k=1,...,n) are pairwise distinct modulo m. For d=4,6,12 and n=3,4,...., we prove that the least prime p>2n-2 with p=-1 (mod d) is the smallest integer m such that those (2k-1)^d for k=1,...,n are pairwise distinct modulo m. We also pose several challenging conjectures on primes. For example, we find a surprising recurrence for primes, namely, for every n=10,11,... the (n+1)-th prime p_{n+1} is just the least positive integer m such that 2s_k^2 (k=1,...,n) are pairwise distinct modulo m where s_k = sum_{j=1}^k(-1)^{k-j}p_j. We also conjecture that for any positive integer m there are consecutive primes p_k,...,p_n (k

연구 동기 및 목표

• 모듈로 상의 서로 다른 조건을 사용하여 출력값이 소수로만 구성되는 수론적 함수를 구성하는 것.
• 다항식 $\binom{2k}{k}$, $k!$, $k(k-1)$, 또는 $2k(k-1)$와 같은 수열이 모듈로 $m$에서 서로 다른 값을 가지는 데 필요한 최소 모듈로 $m > 1$를 특성화하고, 이 모듈로가 항상 소수임을 보이는 것.
• 이전의 $D_f(n)$ 연구를 확장하여 특정 다항식 $f$에 대해, 모듈로 $m$에서 값들이 서로 다른 것을 보장하는 최소 $m$이 소수 또는 소수의 거듭제곱임을 증명하는 것.
• 선형 재귀 수열과 원시근을 소수 출력과 연결하는 조건을 제안하고, 최소 상이성 모듈로를 통해 이를 뒷받침하는 추측을 제시하는 것.

제안 방법

• 모든 $k = 1, \dots, n$ 에 대해 $2k(k-1) \mod m$ 가 상호소수인 최소의 $m > 1$ 를 $S(n)$ 으로 정의하고, $S(n)$ 이 $2n-2$ 보다 큰 가장 작은 소수와 같음을 증명한다.
• 모든 $k = 1, \dots, n$ 에 대해 $k(k-1) \mod m$ 가 상호소수인 최소의 $m > 1$ 를 $T(n)$ 으로 정의하고, $T(n) = \min\{m \geq 2n-1 : m \text{ 는 소수이거나 } 2 \text{ 의 거듭제곱} \}$ 라고 증명한다.
• 이차 잔여물, 레이지랑드 색소, 재귀 수열(예: 루카스 수열)의 성질을 사용하여 모듈로 $m$에서의 상이성 분석을 수행하고, 이를 소수성과 연결한다.
• 다항식 $f(k) = k(dk - 1)$ 에 대해, 모듈로 $m$에서 $n$개의 서로 다른 값이 나오는 최소 $m$이 $d \in \{2,3\}$ 인 경우에 대해 $n$ 이상인 $d$의 최소 거듭제곱, 즉 $d^{\lceil \log_d n \rceil}$ 임을 증명한다.
• 오일러 수 $E_{2k}$ 를 포함하는 수열을 분석하고, $E_{2k} \mod m$ 의 상이성을 보장하는 최소 모듈로가 2의 거듭제곱 또는 소수의 제곱임을 보이며, 소수의 제곱이 아닌 경우는 소수의 제곱이 아닐 수 있음을 확인한다.
• Stern의 합동식과 루카스 수열의 성질을 사용하여 $v_k(A,1) \mod m$ 가 서로 다른 조건을 유도하고, 최소 모듈로의 소수성에 대한 추측을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 다항식 수열의 값들이 모듈로 $m$에서 서로 다른 값을 가지는 데 필요한 최소 모듈로를 기반으로 하는 함수가 항상 소수만 생성할 수 있는가?
• RQ2 모든 $k = 1, \dots, n$ 에 대해 $2k(k-1) \mod m$ 가 서로 다른 값을 가지는 최소의 $m > 1$ 는 항상 소수인가? 만약 그렇다면 어떤 소수인가?
• RQ3 수열 $k(k-1) \mod m$ 에 대해, $n$개의 서로 다른 값을 가지는 최소 $m$ 이 $2n-1$ 이상인 가장 작은 소수 또는 2의 거듭제곱인가?
• RQ4 $k(dk-1) \mod m$ 의 상이성을 보장하는 최소 모듈로가 $d$의 거듭제곱을 생성하는가? 어떤 조건에서 그런가?
• RQ5 $E_{2k} \mod m$ 의 값들이 서로 다른 것을 보장하는 최소 모듈로는 특성화할 수 있는가? 그리고 언제 소수인가?

주요 결과

• 함수 $S(n)$ 은 $k = 1, \dots, n$ 에 대해 $2k(k-1) \mod m$ 가 상호소수인 최소의 $m > 1$ 이며, 이는 $2n - 2$ 보다 큰 가장 작은 소수와 같다.
• 함수 $T(n)$ 은 $k = 1, \dots, n$ 에 대해 $k(k-1) \mod m$ 가 상호소수인 최소의 $m > 1$ 이며, 이는 $2n - 1$ 이상인 가장 작은 정수 $m$ 이며, 이는 소수 또는 2의 거듭제곱이다.
• 다항식 $f(k) = k(dk - 1)$ 에 대해 $d \in \{2,3\}$ 이면, $k(dk - 1) \mod m$ 가 상호소수인 최소 $m$ 은 $n$ 이상인 $d$의 최소 거듭제곱, 즉 $d^{\lceil \log_d n \rceil}$ 이다.
• 모든 $n \geq 4$ 에 대해 $18k(3k-1) \mod m$ 가 상호소수인 최소 $m$ 은 $3n$ 보다 큰 가장 작은 소수 $p$ 이며, $p \equiv 1 \pmod{3}$ 를 만족한다.
• 모든 $n \geq 5$ 에 대해 $4k(4k-1) \mod m$ 가 상호소수인 최소 $m$ 은 $(8n - 4)/3$ 보다 큰 가장 작은 소수 $p$ 이며, $p \equiv 1 \pmod{4}$ 를 만족한다.
• 모든 $n \geq 6$ 에 대해 $4k(4k+1) \mod m$ 가 상호소수인 최소 $m$ 은 $(8n - 2)/3$ 보다 큰 가장 작은 소수 $p$ 이며, $p \equiv -1 \pmod{4}$ 를 만족한다.