[논문 리뷰] On Gallai's and Hajós' Conjectures for graphs with treewidth at most 3

Fábio Botler, Maycon Sambinelli외 2명|arXiv (Cornell University)|2017. 06. 14.

Advanced Graph Theory Research참고 문헌 12인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 트리너비가 3 이하인 그래프에 대해 Gallai의 추측과 Hajós의 추측을 검증하며, 이러한 그래프가 각각 크기 최대 ⌊n/2⌋인 경로 분해와 크기 최대 ⌊(n−1)/2⌋인 사이클 분해를 갖는다는 것을 증명한다. 주요 기여는 트리너비 ≤3인 그래프 중 더 엄격한 bound ⌊n/2⌋를 위반하는 유일한 그래프가 K₃와 K₅−e임을 규명하고, 이들을 위해 새로운 감소 기법인 r-감소 부분그래프를 도입하여 두 추측을 이 클래스에 대해 증명하고, 기존의 최대 차수 ≤4 및 고리 길이 ≥6인 평면 그래프에 대한 결과를 확장한다.

ABSTRACT

A path (resp. cycle) decomposition of a graph $G$ is a set of edge-disjoint paths (resp. cycles) of $G$ that covers the edge set of $G$. Gallai (1966) conjectured that every graph on $n$ vertices admits a path decomposition of size at most $\lfloor (n+1)/2 floor$, and Hajós (1968) conjectured that every Eulerian graph on $n$ vertices admits a cycle decomposition of size at most $\lfloor (n-1)/2 floor$. Gallai's Conjecture was verified for many classes of graphs. In particular, Lovász (1968) verified this conjecture for graphs with at most one vertex of even degree, and Pyber (1996) verified it for graphs in which every cycle contains a vertex of odd degree. Hajós' Conjecture, on the other hand, was verified only for graphs with maximum degree $4$ and for planar graphs. In this paper, we verify Gallai's and Hajós' Conjectures for graphs with treewidth at most $3$. Moreover, we show that the only graphs with treewidth at most $3$ that do not admit a path decomposition of size at most $\lfloor n/2 floor$ are isomorphic to $K_3$ or $K_5-e$. Finally, we use the technique developed in this paper to present new proofs for Gallai's and Hajós' Conjectures for graphs with maximum degree at most $4$, and for planar graphs with girth at least $6$.

연구 동기 및 목표

• 트리너비가 3 이하인 그래프에 대해 Gallai의 추측과 Hajós의 추측을 해결하기 위해.
• 이러한 그래프 중 더 엄격한 경로 분해 bound ⌊n/2⌋를 위반하는 최소한의 예외를 규명하기 위해.
• 일반적인 감소 기법인 r-감소 부분그래프를 사용하여 더 넓은 그래프 클래스에 대해 추측을 증명하기 위한 기법을 개발하기 위해.
• 이 기법을 최대 차수 ≤4인 그래프 및 고리 길이 ≥6인 평면 그래프에 적용 가능하도록 확장하기 위해.
• 이미 검증된 경우에 대해 새로운, 자가 포함된 증명을 제공하기 위해.

제안 방법

• E(H)를 제거할 때 비이sov된 정점 수가 최소 2r만큼 감소하고, 경로 분해 크기가 최대 r이 되는 r-감소 부분그래프 H의 개념을 도입한다.
• H를 구성함으로써 잔여 그래프 G′이 각 연결성 컴포넌트 C′에 대해 경로 분해 크기 ⌊|V(C′)|/2⌋를 만족하도록 한다.
• H와 G′의 분해를 조합하여 전체 경로 분해 크기가 최대 ⌊n/2⌋가 되도록 하여 트리너비 ≤3인 그래프에 대해 Gallai의 추측을 증명한다.
• 동일한 감소 전략을 사이클 분해에 적용하여 동일한 클래스에 대해 Hajós의 추측을 검증한다.
• 이 기법을 최대 차수 ≤4인 그래프 및 고리 길이 ≥6인 평면 그래프에 대해 재진술하여 Gallai의 추측과 Hajós의 추측을 재증명한다.
• 사례 분석 및 사이클 분해 구성(예: D₁에서 D₆)을 통해 부분그래프 내 사이클 수의 bound를 검증하고, 대칭성과 극한 가정을 활용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 트리너비가 3 이하인 그래프 중 크기 최대 ⌊n/2⌋인 경로 분해를 갖지 않는 그래프는 무엇인가?
• RQ2 r-감소 부분그래프 기법을 사용하여 트리너비 ≤3인 그래프에 대해 Gallai의 추측을 검증할 수 있는가?
• RQ3 동일한 방법이 트리너비 ≤3인 그래프에 대해 Hajós의 추측을 검증하는 데 확장 가능한가?
• RQ4 이 감소 기법을 최대 차수 ≤4인 그래프 및 고리 길이 ≥6인 평면 그래프에 대해 Gallai의 추측과 Hajós의 추측을 증명하는 데 적용할 수 있는가?
• RQ5 트리너비 ≤3인 그래프 중 더 엄격한 경로 분해 bound에 대한 최소 반례는 무엇인가?

주요 결과

• 크기 최대 ⌊n/2⌋인 경로 분해를 갖지 않는 트리너비가 3 이하인 그래프는 K₃ 또는 K₅−e와 동형인 유일한 그래프이다.
• 모든 트리너비가 3 이하인 그래프에 대해 Gallai의 추측이 성립하며, K₃와 K₅−e를 제외한 나머지는 경로 수가 ⌊n/2⌋ 이하로 제한된다.
• 모든 트리너비가 3 이하인 올레라안 그래프에 대해 Hajós의 추측이 검증되었으며, 사이클 수는 ⌊(n−1)/2⌋ 이하로 제한된다.
• 이 논문은 최대 차수 ≤4인 그래프에 대해 Gallai의 추측과 Hajós의 추측에 대해 새로운 증명을 제공한다.
• 이 기법은 고리 길이 ≥6인 평면 그래프에 대해 두 추측을 성공적으로 검증한다.
• r-감소 부분그래프를 사용하는 감소 방법은 국소적 분해와 전역적 bound를 조합함으로써 여러 그래프 클래스에 대해 추측을 증명하는 데 효과적이다.