[논문 리뷰] On general construct of chaotic unbounded linear operators in Banach Spaces with Schauder Bases

Marat V. Markin|arXiv (Cornell University)|2018. 12. 06.

Holomorphic and Operator Theory참고 문헌 9인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 슈하르 기저를 갖는 바나흐 공간에서의 혼돈적인 무한대 선형 연산자에 대한 일반적인 구성법을 제시한다. 이는 롤레비치의 가중치가 부여된 후행 이동 연산자를 무한차원 환경으로 확장한 것으로, 특정한 감쇠 조건을 만족하는 지수적 가중치를 갖는 가중치가 부여된 후행 이동 연산자를 정의함으로써, 이 연산자가 초주기적이고 혼돈적임을 증명한다. 이는 이전의 $ l_p $ 및 $ c_0 $ 공간에 대한 결과를 임의의 슈하르 기저를 갖는 바나흐 공간으로 일반화한다.

ABSTRACT

We utilize the idea underlying the construct of the classical weighted backward shift Rolewicz's operators to furnish a straightforward approach to a general construct of chaotic unbounded linear operators in a (real or complex) Banach space with a Schauder basis.

연구 동기 및 목표

• 바나흐 공간에서의 초주기성과 혼돈성 이론을 유계 선형 연산자에서 무한대 선형 연산자로 확장하기 위해.
• 롤레비치의 고전적인 가중치가 부여된 후행 이동 예제를 일반 바나흐 공간에서의 무한대 연산자로 일반화하기 위해.
• 무한대 연산자가 동시에 초주기적이고 혼돈적임을 보장하는 충분한 조건을 설정하기 위해.
• 주기점들의 집합이 공간에서 조밀함을 보여, 혼돈성의 성립을 확인하기 위해.
• 이미 알려진 $ l_p $ 및 $ c_0 $ 공간에서의 초주기적이고 혼돈적인 연산자에 대한 결과들을 통합하고 일반화하기 위해.

제안 방법

• 스칼라 수열 $ \{w_n\} $ 가 $ |w_n| > 1 $ 이고 $ \sum_{n=1}^\infty |w_n|^{-1} < \infty $ 를 만족하는 조건을 갖는 바나흐 공간 $ X $ 에서 슈하르 기저를 갖는 연산자 $ A $ 를 정의한다.
• 도메인 $ D(A) = \{ x \in X \mid (w_k x_{k+1}) \in X \} $ 을 갖는다. 연산자는 $ Ax = (w_k x_{k+1})_{k\in\mathbb{N}} $ 로 구성된다.
• 슈하르 전개의 수렴성과 $ |w_n|^{-1} $ 의 감쇠 성질을 이용하여, 특별히 선택된 벡터의 궤도가 $ X $ 에서 조밀해지도록 보장한다.
• 특정한 벡터 $ x \in C^\infty(A) $ 의 궤도가 추정치를 통해 조밀해짐을 보여 초주기성을 증명한다.
• 임의의 주기 $ N $ 을 갖는 주기점들을 구성하고, 가산 조밀한 부분집합 $ Y $ 에서의 근사 기법을 통해 그 집합이 $ X $ 에서 조밀함을 보여 혼돈성을 입증한다.
• 연산자 $ A^n $ 의 닫힘성과 슈하르 기저의 구조를 활용하여 $ x \in D(A^n) $ 이고 $ A^n x \to x $ 가 노름 수렴함을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고전적인 초주기적 가중치가 부여된 후행 이동의 구성법을 임의의 바나흐 공간에서 슈하르 기저를 갖는 무한대 선형 연산자로 일반화할 수 있는가?
• RQ2 무한대 연산자에서 초주기성과 혼돈성을 보장하기 위해 가중치 수열에 어떤 조건이 필요한가?
• RQ3 스칼라 $ l_p $ 또는 $ c_0 $ 와 동형이 아닌 바나흐 공간에서 슈하르 기저를 갖는 혼돈적인 무한대 선형 연산자를 구성할 수 있는가?
• RQ4 이 일반적 설정에서 무한대 연산자에 대해 주기점들의 조밀성을 어떻게 확립할 수 있는가?
• RQ5 지수적 가중치 수열 $ w_n = \lambda^n $ 이고 $ |\lambda| > 1 $ 인 경우, 어떤 바나흐 공간에서 슈하르 기저를 갖는다면 연산자 $ Ax = (\lambda^k x_{k+1})_{k\in\mathbb{N}} $ 는 혼돈적인가?

주요 결과

• 가중치 수열이 $ \sum_{n=1}^\infty |w_n|^{-1} < \infty $ 와 $ |w_n| > 1 $ 를 만족하면, 슈하르 기저를 갖는 모든 바나흐 공간에서 구성된 무한대 가중치가 부여된 후행 이동 연산자는 초주기적이다.
• 주기점들의 집합이 바나흐 공간에서 조밀하므로 연산자는 혼돈적이다. 이는 가산 조밀한 부분집합 $ Y $ 의 임의의 원소들을 증가하는 주기의 주기점들로 근사함으로써 확립된다.
• 지수적 가중치 $ w_n = \lambda^n $ 이고 $ |\lambda| > 1 $ 인 경우, 연산자 $ Ax = (\lambda^k x_{k+1})_{k\in\mathbb{N}} $ 는 $ l_p $ ( $ 1 \leq p < \infty $) 및 $ c_0 $ 에서 혼돈적이다. 이는 이전 연구의 정리 1.1을 복원하고 강화한다.
• 슈하르 기저와 가중치 수열을 통해 구성된 $ x \in C^\infty(A) $ 는 궤도 $ \{A^n x\}_{n\in\mathbb{Z}_+} $ 가 $ X $ 에서 조밀함을 보장하여 초주기성을 증명한다.
• 증명은 급수의 尾수열 $ \sum_{j=m+1}^\infty B^{n_j - n_m} y^{(j)} $ 의 추정에 기반하며, 이 수열이 수렴하고 $ m \to \infty $ 일 때 0으로 수렴함을 보여 궤도의 조밀성을 암시한다.
• 이 구성은 모든 분리 가능한 바나흐 공간에 슈하르 기저를 갖는 경우에 적용 가능하며, $ L_p(a,b) $, $ C[a,b] $, $ l_p $, $ c_0 $, $ c $ 등에 적용 가능하여 광범위한 적용 가능성을 보여준다.