[논문 리뷰] On Generalizations of the Pell Sequence

Fügen Torunbalcı Aydın, Kevser Köklü|arXiv (Cornell University)|2017. 11. 16.

Mathematical Inequalities and Applications참고 문헌 5인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 임의의 정수 매개변수 p와 q를 사용하여 펠 수열의 세 가지 일반화된 형태인 일반화된 펠 수열, 일반화된 복소 펠 수열, 일반화된 이중 펠 수열을 도입하고 분석한다. 이 수열들에 대해 재귀 관계, 바니에의 공식, 은비율, 그리고 벡터 연산(스칼라곱, 외적, 혼합곱)을 유도하며, 고전적인 펠 수의 성질을 복소수 및 이중수를 포함한 더 넓은 대수적 구조로 확장한다.

ABSTRACT

In this paper, we investigate the generalized Pell sequence, the generalized complex Pell sequence and the generalized dual Pell sequence using the Pell numbers. We obtain special cases of these sequences. Furthermore, we give recurrence relations, vectors, the silver ratio and Binet's formula for the above-investigated sequences.

연구 동기 및 목표

• 고전적인 펠 수열을 임의의 초기값 p와 q를 갖는 일반화된 형태로 확장하기.
• 복소수 및 이중수 체계에서 일반화된 펠 수열의 대수적 및 기하적 성질을 조사하기.
• 일반화된 수열에 대해 재귀 관계, 바니에의 공식, 그리고 벡터 연산(스칼라곱, 외적, 혼합곱)을 도출하기.
• 일반화된 설정에서 은비율과 펠-라쿠스 수열 간의 관계 탐색하기.
• 특수한 경우와 일반화된 수열의 극한 행동을 제시하기, 특히 p=1, q=0일 때의 경우에 중점을 두기.

제안 방법

• 임의의 초기값 P_0 = q, P_1 = p를 갖는 재귀 관계 P_n = 2P_{n-1} + P_{n-2}를 통해 일반화된 펠 수열을 정의한다.
• 일반화된 펠 수열을 표준 펠 수열로 표현한다: P_n = pP_n + qP_{n-1}.
• 복소수 단위 i² = -1을 사용하여 일반화된 복소 펠 수열을 C_n = P_n + i P_{n+1}로 정의한다.
• 이중수 단위 ε² = 0을 사용하여 일반화된 이중 펠 수열을 D^P_n = P_n + ε P_{n+1}로 정의한다.
• 특성 방정식 x² - 2x - 1 = 0의 근을 사용하여 일반화된 펠 수열에 대한 바니에의 공식을 유도한다.
• 수열의 실수, 복소수, 이중수 표현에 대한 벡터 연산(스칼라곱, 외적, 혼합곱)을 분석한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고전적인 펠 수열은 어떻게 임의의 초기값 p와 q를 포함하면서도 그 재귀적 구조를 유지할 수 있는가?
• RQ2 일반화된 펠 수열에 대한 폐쇄형 표현식(예: 바니에의 공식)과 극한 행동은 무엇인가?
• RQ3 펠 수열의 성질(예: 행렬식 항등식, 합의 공식)은 일반화된 복소 펠 수열과 이중 펠 수열으로 어떻게 확장되는가?
• RQ4 복소수 및 이중수 체계에서 일반화된 펠 수열로부터 유도된 벡터의 대수적 및 기하적 성질은 무엇인가?
• RQ5 은비율과 펠-라쿠스 수열은 일반화된 수열과 어떻게 관련되어 있는가?

주요 결과

• 일반화된 펠 수열은 항등식 P_{n+r} = P_n P_{r+1} + P_{n-1} P_r를 만족하며, 고전적인 덧셈 공식을 일반화한다.
• 행렬식 항등식 P_{n-1} P_{n+1} - P_n² = (-1)^n e_p가 성립하며, 여기서 e_p = p² - 2pq - q²이다.
• 일반화된 펠 수열에 대한 바니에의 공식은 P_n = (p - 2q)P_n + qP_{n+1}이며, 여기서 P_n과 P_{n+1}은 표준 펠 수열의 수열이다.
• 일반화된 복소 펠 수열 C_n = P_n + i P_{n+1}는 동일한 재귀 관계를 만족하며 실수 일반화된 펠 수열의 성질을 그대로 이어받는다.
• 일반화된 이중 펠 수열 D^P_n = P_n + ε P_{n+1}는 동일한 재귀 관계를 만족하며 이중수 대수를 이용한 벡터 연산이 가능하다.
• 세 개의 일반화된 이중 펠 수열 벡터의 혼합곱은 항상 0이며, 이는 이중 벡터 공간에서의 일차 종속성을 나타낸다.