[논문 리뷰] On generalized categories of Soergel bimodules in type $A_2$

Thomas Gobet, Anne‐Laure Thiel|arXiv (Cornell University)|2017. 11. 23.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 5인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 유형 $A_2$에서 간단한 반사 외에도 모든 반사에 대해 정의된 생성자를 갖는 일반화된 Soergel 이중모듈러의 분할 그로텐디크 링을 계산한다. 이 링은 랭크 20인 자유 $ olimits\mathbb{Z}[v^{ olimits\pm 1}]$-대수로 표현되며, 생성자와 관계에 의한 표현이 제공되고, 유도된 반전 대칭에 대해 보존되는 부분집합 $A \subseteq W$를 통해 기약 대상이 매개화되며, 이는 외부 대각선의 합집합 위의 정칙 함수로 실현된다.

ABSTRACT

In this note, we compute the split Grothendieck ring of a generalized category of Soergel bimodules of type $A_2$, where we take one generator for each reflection. We give a presentation by generators and relations of it and a parametrization of the indecomposable objects in the category, by realizing them as rings of regular functions on certain unions of graphs of group elements on a reflection faithful representation.

연구 동기 및 목표

• 유형 $A_2$에서 모든 반사 $t \in T$에 대해 $B_t = R \otimes_{R^t} R(1)$로 생성되는 범주 $\mathcal{C}$의 분할 그로텐디크 링 $\langle\mathcal{C}\rangle$을 계산하는 것.
• 이 링이 Iwahori-Hecke 대수의 유형 $\widetilde{A_2}$의 몫임을 보여주는 생성자와 관계에 의한 표현을 제공하는 것.
• 반사에 의해 어떤 원소에 대해 공역이 보존되는 부분집합 $A \subseteq W$를 사용하여 $\mathcal{C}$ 내 기약 대상을 매개화하고, 이를 군 원소들의 그래프들의 합집합 위의 정칙 함수로 실현하는 것.
• 표준 Soergel 범주 $\mathcal{B}$보다 엄격히 큰 범주임을 보여주기 위해, 어떤 $A \subseteq W$에 대해서도 $R(A)$와 동형이 아닌 기약 이중모듈러를 포함하고 있음을 보여주는 것.

제안 방법

• 각 반사 $t \in T$에 대해 $B_t = R \otimes_{R^t} R(1)$로 정의하며, 여기서 $R = \mathcal{O}(V)$는 반사 충실 표현 $V$ 위의 다항함수의 링이다.
• 예를 들어 $R_w \otimes_R R(A) \cong R(wA)$ 및 $B_s B_t B_s \cong B_s B_{sts} B_s$와 같은 동형을 사용하여 생성자 간의 관계를 유도한다.
• 기약 이중모듈러를 $R(A) = \mathcal{O}(\bigcup_{x \in A} \mathrm{Gr}(x))$로 실현하며, 여기서 $\mathrm{Gr}(x) = \{(xv,v) \mid v \in V\}$이며, 차수 0 성분 분석을 통해 이들이 기약임을 보인다.
• $B_t \cong R(\{e,t\})(1)$임을 증명하여 표준 이중모듈러와 새로운 매개화를 연결한다.
• 기본 차수 0 성분이 1차원이므로 $R(A)$가 기약임을 보인다.
• 표준 필터링과 부분구조를 비교하여, 예를 들어 $B_s R_t B_u$와 같은 일부 이중모듈러가 $B' \in \mathcal{B}$에 대해 $R_w B' R_{w'}$와 동형이 아니라는 것을 보여, 표준 필터링의 불일치를 입증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유형 $A_2$에서 모든 반사 $t \in T$에 대해 $B_t = R \otimes_{R^t} R(1)$로 생성되는 범주 $\mathcal{C}$의 분할 그로텐디크 링 $\langle\mathcal{C}\rangle$의 구조는 무엇인가?
• RQ2 범주 $\mathcal{C}$ 내 기약 대상은 어떻게 매개화되며, 기하학적 실현은 무엇인가?
• RQ3 $\mathcal{C}$는 어떤 $A \subseteq W$에 대해서도 $R(A)$와 동형이 아닌 기약 이중모듈러를 포함하는가? 만약 그렇다면, 표준 Soergel 범주 $\mathcal{B}$와의 차이는 무엇인가?
• RQ4 $\langle\mathcal{C}\rangle$는 $\mathbb{Z}[v^{\pm 1}]$ 위에서 유한 차원인가? 그리고 생성자와 관계에 의한 표현이 가능한가?
• RQ5 $\mathcal{C}$와 유형 $\widetilde{A_2}$의 애질레프 히드라 대수 간의 관계는 무엇인가?

주요 결과

• 분할 그로텐디크 링 $\langle\mathcal{C}\rangle$는 랭크 20인 자유 $ olimits\mathbb{Z}[v^{\nolimits\pm 1}]$-대수이다.
• $\langle\mathcal{C}\rangle$는 생성자와 관계에 의한 표현을 가지며, Iwahori-Hecke 대수의 유형 $\widetilde{A_2}$의 몫과 동형이다.
• $\mathcal{C}$ 내 기약 대상은 어떤 반사 $t \in T$에 대해 $tA = A$를 만족하는 부분집합 $A \subseteq W$와 일대일 대응되며, $R(A) = \mathcal{O}(\bigcup_{x \in A} \mathrm{Gr}(x))$로 실현된다.
• $B_s R_t B_u$와 같은 기약 이중모듈러가 존재하며, 이는 $B' \in \mathcal{B}$에 대해 $R_w B' R_{w'}$와 동형이 아니며, 표준 필터링의 불일치로 인해 발생한다.
• $\mathcal{C}$는 표준 Soergel 범주 $\mathcal{B}$를 엄격히 포함한다. 이는 표준 필터링에 $R_x$가 여러 번 나타나는 이중모듈러들이 존재하기 때문이며, 이러한 것은 $R(A)$ 형식의 이중모듈러에서 유래될 수 없다.
• 유형 $A_3$에서 $B_s, B_t, B_u, B_{sts}$로 생성되는 부분범주는 $R(A)$와 동형이 아닌 이중모듈러를 포함하며, $\langle\mathcal{C}_2\rangle$의 랭크가 유한한지 여부는 아직 명확하지 않다.