[논문 리뷰] On generalized CIR equations

Michał Barski, Jerzy Zabczyk|arXiv (Cornell University)|2019. 02. 24.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 14인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 코크스-잉거솔-로즈(Cox-Ingersoll-Ross, CIR) 모델을 일반화하여, 비음수 채권 가격을 보장하고 마팅글 성질(MP)을 만족하는 레비 마팅글레인으로 유도되는 모든 아핀 단기 금리 과정을 특성화한다. 이는 채권 시장에서 무 arbitrage를 보장한다. 주요 결과는 두 가지 다른 클래스를 규명한다: (1) 인덱스 α ∈ (1,2]인 안정 레비 과정이며, F(x) = ax + b (b ≥ 0), G(x) = cx^{1/α}; (2) 유한한 변동성과 양의 점프를 갖는 레비 마팅글레인이며, F(x) = ax + b (b ≥ 0), G는 상수. 이러한 결과는 고전적인 CIR 및 바시체크 모델을 비가우시안, 비음수 금리 역학으로 확장한다.

ABSTRACT

The paper is concerned with stochastic equations for the short rate process $R$ $$ dR(t)=F(R(t))dt+G(R(t-))dZ(t), $$ in the affine model of the bond prices. The equation is driven by a Lévy martingale $Z$. It is shown that the discounted bond prices are local martingales if either $Z$ is a stable process of index $α\in(1,2]$,\,$F(x)= ax +b, b\geq 0$, $G(x)=cx^{1/α}, c>0$ or $Z$ must be a Lévy martingale with positive jumps and trajectories of bounded variation, $F(x)= ax +b, b\geq 0$ and G is a constant. The result generalizes the well known Cox-Ingersoll-Ross result and extends the Vasicek result to non-negative short rates.

연구 동기 및 목표

• 레비 마팅글레인 노이즈 Z를 갖는 dR(t) = F(R(t))dt + G(R(t-))dZ(t) 형태의 모든 확률미분방정식을 특정하여, 결과적으로 도출된 단기 금리 R(t)가 비음수이고, 할인된 채권 가격이 국소 마팅글레인임을 보장한다.
• 고전적인 CIR 및 바시체크 모델을 비가우시안, 아핀 수익률 기초 모델로 확장하여 비음수 금리 수준을 갖도록 한다.
• HJM 조건이 아핀 프레임워크 내에서 무 arbitrage를 만족하는 조건을 F, G 및 레비 과정 Z에 대해 정확히 규명한다.
• 일반적인 레비 과정에 의해 구동되는 첫 번째 완전한 아핀, 비음수, 마코프 단기 금리 모델의 특성화를 수립한다. 이는 확산 또는 브라운 운동을 초월한다.

제안 방법

• 무 arbitrage를 위한 HJM(헤스-조로-모르탄) 조건을 활용하여, 비율 F 및 변동성 G 함수에 대한 필요 및 충분 조건을 유도한다.
• 레비 과정 Z의 라플라스 지수 J(λ)를 적용하여, 아핀 구조 P(t,T) = exp(-A(T-t) - B(T-t)R(t))를 통해 할인된 채권 가격의 마팅글 성질을 분석한다.
• 기존 필리포비치의 특성화에 의존하지 않는 새로운 접근법을 사용하여 열 방정식 및 무한소 생성자 분석을 활용한다.
• 특히 유한한 변동성 과정에 대해 점프 측도 ν와 비율-균형 제약 조건을 분석함으로써 SDE 해 R(t)의 비음수성 유지 조건을 도출한다.
• 보상된 포아송 측도와 마팅글레인 부등식을 사용하여, ν와 b에 대한 특정 적분 가능성 및 균형 조건 하에서 R(t)의 비음수성을 증명한다.
• A(v) 및 B(v) 함수는 HJM 조건에서 유도된 상미분방정식 시스템을 만족해야 하며, B(0)=0, A(0)=0, B’(0)=1 이다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 단기 금리 R(t)가 비음수이고 할인된 채권 가격이 국소 마팅글레인임을 보장하기 위해 필요한 및 충분한 조건은 무엇인가? 이는 F, G, Z의 레비 과정에 대해 각각 어떤가?
• RQ2 고전적인 CIR 모델은 브라운 운동을 초월하여 안정 레비 과정(인덱스 α ∈ (1,2])을 포함하도록 일반화될 수 있는가? 이 경우 아핀 구조와 무 arbitrage 조건은 유지되는가?
• RQ3 G가 상수이고 Z가 양의 점프 및 유한한 변동성을 갖는 경우, SDE 해 R(t)가 비음수로 유지되기 위해 레비 측도 ν와 비율 b에 어떤 조건이 필요한가?
• RQ4 아핀 채권 가격 공식의 함수 A(v)와 B(v)는 레비 과정 Z 및 함수 F, G의 특성과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ5 일반적인 레비 과정에 의해 구동되는 모든 아핀, 비음수, 마코프 단기 금리 모델을 완전히 특성화할 수 있는가? 만약 가능하면, 어떤 구조적 제약 조건이 존재하는가?

주요 결과

• 할인된 채권 가격이 국소 마팅글레인임은 다음 두 경우에만 해당한다: (I) Z가 인덱스 α ∈ (1,2]인 안정 레비 과정이며, F(x) = ax + b (b ≥ 0), G(x) = c x^{1/α} (c > 0); 또는 (II) Z가 양의 점프와 유한한 변동성을 갖는 레비 마팅글레인이며, F(x) = ax + b (b ≥ 0), G(x) ≡ σ > 0.
• 경우 (I)에서 채권 가격 함수 B(v)는 ODE B’(v) = aB(v) + 1, B(0) = 0 를 만족하며, A(v)는 A’(v) = bB(v) - J(σB(v)) 를 만족한다. 여기서 J(λ) = c_α λ^α 이다.
• 경우 (II)에서 R(t)의 비음수성에 대해 필요 및 충분 조건은 b ≥ σ ∫₀^∞ y ν(dy) 이다. 이 조건은 해가 거의 확실히 비음수로 유지됨을 보장한다.
• 함수 B(v)는 증가하고, B’(v) = aB(v) + 1, B(0) = 0 를 만족하며, A(v)는 b ≥ σ ∫₀^∞ y ν(dy) 이면 증가한다. 이는 채권 가격 P(t,T)가 T에 대해 감소함을 보장한다.
• 증명 과정에서, 경우 (II)에서 Z의 위너 부분이 사라져야 하며, 보상된 점프 측도에 음의 점프가 없어야 한다. 否면 비음수성 유지가 실패한다.
• 분석 결과, Z가 브라운 운동일 경우 고전적인 CIR 모델이 복원되며, 유한한 변동성 레비 과정을 통해 바시체크 모델이 비음수 금리로 확장됨을 확인한다.