[논문 리뷰] On generalized core-EP invertibility in a Banach algebra

Huanyin Chen, Marjan Sheibani|arXiv (Cornell University)|2023. 09. 18.

Matrix Theory and Algorithms인용 수 8

한 줄 요약

논문은 Banach *-대수에서 일반화 코어-EP 역수를 도입하고 특징화하며, 역순 법칙을 확립하고, 블록 행렬에 적용되는 일반화 코어-EP 순서를 정의한다.

ABSTRACT

We present new properties of generalized core-EP inverse in a Banach *-algebra. We characterize this new generalized inverse by using involved annihilators. The generalized core-EP inverse for products is obtained. The core-EP orders for Banach *-algebra elements are thereby investigated. As applications, new properties of the core-EP inverse for block complex matrices are given.

연구 동기 및 목표

• Banach *-대수에서 소멸자(annihilators)와 관련된 투영을 사용하여 일반화 코어-EP 역수를 특징화한다.
• 일반화 코어-EP 가역성에 대한 동등한 조건과 분해를 조사한다.
• 접합 조건하에서 일반화 코어-EP 역수에 대한 역순 법칙을 확립한다.
• 일반화 코어-EP 순서를 도입하고 특징화하며 블록-연산자/행렬 형태의 행에 응용을 제공한다.

제안 방법

• x가 xax = x, (ax)* = ax, 그리고 a-의 극한 조건을 만족하는 방법으로 일반화 코어-EP 역수를 정의하고 유일성을 보인다.
• 소거자, 투영, 및 a를 일반화 코어-EP 구성요소로의 분해를 이용하여 동등성을 증명한다.
• 교환 및 에지 관계를 만족하는 곱에 대해 역순 결과를 개발한다.
• 일반화 코어-EP 순서의 기준을 도출하고 a 및 its spectral idempotent에 대한 행렬(블록) 형태로 표현한다.
• 특정 조건하에서 대각 블록이 일반화 코어-EP 역수를 가지는 경우 2x2 블록 행렬의 일반화 코어-EP 역수를 얻을 수 있도록 결과를 적용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Banach *-대수에서 일반화 코어-EP 역수의 소거자 기반 특징화의 동등성은 무엇인가?
• RQ2 두 원소의 일반화 코어-EP 역수에 대해 역순 법칙이 성립하는 조건은 무엇인가?
• RQ3 Banach *-대수에서 일반화 코어-EP 순서를 어떻게 정의하고 특징화할 수 있는가?
• RQ4 블록 행렬에 대해 이러한 일반화 역수의 거동은 어떠하며 어떤 명시적 형태가 나타나는가?
• RQ5 일반화 코어-EP 가역성을 뒷받침하는 필요한 투영 및 분해는 무엇인가?

주요 결과

• 일반화 코어-EP 역수는 특정 소거자 및 투영 조건이 충족될 때 존재하며 고유한 역수를 가진다.
• 적절한 교환 및 에지 관계를 만족하는 곱 ab에 대해, ab는 일반화 코어-EP 역수 가능하며 (ab)⊟ = b⊟ a⊟(적용 가능한 경우 스칼라 인자 포함)이다.
• 특정 스칼라 교환 조건 및 에지 관계에서 역순 법칙이 확립된다.
• 일반화 코어-EP 순서 a ≤⊛ b은 a와 그 스펙트럴 항등원에 상대적인 명시적 행렬 모양의 분해로 특징지어진다.
• 블록 행렬 결과는 대각 블록이 일반화 코어-EP 역수를 갖고 커플링 조건이 성립할 때 2x2 블록 행렬의 일반화 코어-EP 역수를 얻는 방법을 보여준다.
• 본 논문은 일반화 코어-EP 역수를 코어 역수, 일반화된 Drazin 역수 및 Banach *-대수의 관련 연산자 분해와 연결한다.