[논문 리뷰] On generalized Hilbert-Kunz function and multiplicity

Hailong Dao, Ilya Smirnov|arXiv (Cornell University)|2013. 05. 08.

Commutative Algebra and Its Applications참고 문헌 29인용 수 13

한 줄 요약

이 논문은 양의 특성의 국소환에서 유한 생성 모듈러스에 대해 푸앵카레-푸앵카레 변환과 국소코호몰로지에 기반한 일반화된 힐버트-쿤츠 함수와 다중성을 도입한다. 우아한, 등차원적이고 국소 코hen-맥컬레이 조건 하에서 일반화된 힐버트-쿤츠 다중성의 존재를 증명하고, 완전교차의 경우에 이 다중성이 0이 되는 것은 모듈러스의 프로젝티브 차원이 크룰 차원보다 작을 때이고, 그 반대도 성립함을 보여준다.

ABSTRACT

Let $(R,\mathfrak m)$ be a local ring of characteristic $p>0$ and $M$ a finitely generated $R$-module. In this note we consider the limit: $\lim_{n o \infty} \frac{\ell(H^0_{\mathfrak m}(F^n(M)))}{p^{n\dim R}} $ where $F(-)$ is the Peskine-Szpiro functor. A consequence of our main results shows that the limit always exists when $R$ is excellent and has isolated singularity. Furthermore, if $R$ is a complete intersection, then the limit is 0 if and only if the projective dimension of $M$ is less than the Krull dimension of $R$. We exploit this fact to give a quick proof that if $R$ is a complete intersection of dimension $3$, then the Picard group of the punctured spectrum of $R$ is torsion-free. Our results work quite generally for other homological functors and can be used to prove that certain limits recently studied by Brenner exist over projective varieties.

연구 동기 및 목표

• 양의 특성에서 ${\mathfrak{m}}$-primary 이상의 임의의 유한 생성 모듈러스로 고전적 힐버트-쿤츠 이론을 확장하기 위해.
• 일반화된 힐버트-쿤츠 함수 $ f_{gHK}^M(n) = \ell(\operatorname{H}^0_{{\mathfrak{m}}}(M \otimes_R {}^nR)) $ 와 그 점근적 극한 $ \operatorname{e_{gHK}}(M) $ 의 정의 및 연구.
• 특히 고립 특이점과 완전교차의 맥락에서 극한 $ \operatorname{e_{gHK}}(M) $ 가 존재하는 조건을 확립하기 위해.
• 결과를 적용하여 3차원 완전교차의 구멍 뚫린 스펙트럼의 피카르 군이 토크션 자유임을 증명하기 위해.
• 다른 호모로지 함수자, 예를 들어 고차 국소코호몰로지와 $ \operatorname{Tor} $ 등으로 이 이론을 일반화하고, 관련 극한의 존재성을 보여주기 위해.

제안 방법

• n번째 푸앵카레-푸앵카레 변환 $ {}^nR $ 과 0차 국소코호몰로지 모듈러스 $ \operatorname{H}^0_{{\mathfrak{m}}}(M \otimes_R {}^nR) $ 를 사용하여 일반화된 힐버트-쿤츠 함수를 정의한다.
• Peskine-Szpiro 함수자와 푸앵카레 준동형의 성질을 이용하여 길이 함수 $ f_{gHK}^M(n) $ 의 증가 양상을 분석한다.
• Auslander-Buchweitz 근사와 초곡면에서의 주기적 해상표를 사용하여 $ \operatorname{Tor}_i^R(L, {}^nR) $ 를 일반화된 함수와 연결한다.
• 초곡면에서 최소 해상표의 2주기성과 $ \theta $-함수의 행동을 활용하여 $ \operatorname{Tor} $-모듈러스의 길이를 제어한다.
• 그로텐디크 군을 이용하여 $ \theta(M, {}^nR) = 0 $ 이 되는 조건을 도출하고, 이는 $ \operatorname{IPD}(M) \subseteq \{\mathfrak{m}\} $ 일 때 성립함을 보여 $ f_{gHK}^M(n) $ 의 분해를 가능하게 한다.
• 고차 국소코호몰로지의 극한 존재성을 유한 길이 모듈러스로의 환원과 앙annihiator 내의 정규수열의 활용을 통해 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반화된 힐버트-쿤츠 다중성 $ \operatorname{e_{gHK}}(M) = \lim_{n\to\infty} \frac{\ell(\operatorname{H}^0_{{\mathfrak{m}}}(M \otimes_R {}^nR))}{p^{nd}} $ 가 존재하는 조건은 무엇인가?
• RQ2 완전교차 링 $ R $ 에서 $ \operatorname{e_{gHK}}(M) = 0 $ 가 되는 조건은 무엇이며, 이는 모듈러스 $ M $ 의 프로젝티브 차원과 어떻게 관련되는가?
• RQ3 일반화된 힐버트-쿤츠 함수는 고립 특이점이 있는 초곡면에서 특히 간단한 함수들의 차분으로 분해될 수 있는가?
• RQ4 고차 $ k $ 에 대해 $ \ell(\operatorname{H}^k_{{\mathfrak{m}}}(F^n(M))) $ 의 점근적 행동은 어떠한가, 그리고 극한이 존재하는 조건은 무엇인가?
• RQ5 이 이론은 $ \operatorname{Tor} $ 와 $ \operatorname{Ext} $ 와 같은 다른 호모로지 함수자로 어떻게 일반화될 수 있는가?

주요 결과

• 우아하고 등차원적이며 구멍 뚫린 스펙트럼에서 국소 코헨-맥컬레이인 국소환에 대해 일반화된 힐버트-쿤츠 다중성 $ \operatorname{e_{gHK}}(M) $ 가 존재한다.
• 코헨-맥컬레이 링의 경우, 전체 우아성 조건 없이도 극한 $ \operatorname{e_{gHK}}(M) $ 가 존재함을 보여준다.
• 완전교차 링에서 $ \operatorname{e_{gHK}}(M) = 0 $ 이 되는 것은 $ \operatorname{pd}_R M < \dim R $ 일 때이고, 그 반대도 성립함을 보여, 이를 호모로지적 특성화로 제공한다.
• 고립 특이점이 있는 초곡면에서의 모듈러스에 대해 일반화된 함수 $ f_{gHK}^M(n) $ 는 두 개의 그러한 함수의 차분으로 표현될 수 있다.
• 모듈러스 $ M $ 가 구멍 뚫린 스펙트럼에서 국소 자유일 때, $ k \geq 1 $ 에 대해 극한 $ \lim_{n\to\infty} \frac{\ell(\operatorname{H}^k_{{\mathfrak{m}}}(F^n(M)))}{p^{nd}} $ 가 존재한다.
• 이 이론은 3차원 완전교차의 구멍 뚫린 스펙트럼의 피카르 군이 토크션 자유임을 암시하며, 이는 $ \operatorname{e_{gHK}}(M) $ 의 0이 되는 것으로 증명된다.