[논문 리뷰] On generalized probabilities: correlation polytopes for automaton logic and generalized urn models, extensions of quantum mechanics and parameter cheats

Karl Svozil|ArXiv.org|2000. 12. 14.

Neural Networks and Reservoir Computing참고 문헌 37인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 양자 확률을 일반화하여 단위 추적을 가진 임의의 양성 자기수반 연산자로 형식을 확장함으로써 상태와 관측량을 통합적으로 다룰 수 있도록 한다. 이를 통해 '매개변수 속임수'(parameter cheats)—측정 매개변수에 대한 비선형이며 전단사인 변환—를 도입하여 고전적 시스템이 양자 상관관계를 모방할 수 있도록 하며, 이는 티르셀슨 경계를 초월하는 상관관계를 만들어내지만 비균일성이라는 비용을 치르게 된다.

ABSTRACT

Three extensions and reinterpretations of nonclassical probabilities are reviewed. (i) We propose to generalize the probability axiom of quantum mechanics to self-adjoint positive operators of trace one. Furthermore, we discuss the Cartesian and polar decomposition of arbitrary normal operators and the possibility to operationalize the corresponding observables. Thereby we review and emphasize the use of observables which maximally represent the context. (ii) In the second part, we discuss Pitowsky polytopes for automaton logic as well as for generalized urn models and evaluate methods to find the resulting Boole-Bell type (in)equalities. (iii) Finally, so-called ``parameter cheats'' are introduced, whereby parameters are transformed bijectively and nonlinearly in such a way that classical systems mimic quantum correlations and vice versa. It is even possible to introduce parameter cheats which violate the Boole-Bell type inequalities stronger than quantum ones, thereby trespassing the Tsirelson limit. The price to be paid is nonuniformity.

연구 동기 및 목표

• 순수 상태를 초월해 모든 양성 자기수반 연산자로 단위 추적을 가진 형식을 일반화하여 양자 확률 이론을 확장하는 것.
• 카르테시안 및 극좌표 분해를 통해 정규 연산자와 일반 연산자의 작동 가능성(operationalizability)을 분석하는 것.
• 불불포괄 논리(예: 자동기계 논리, 일반화된 우른 모델)의 상관 다면체를 부울-벨 유형 부등식을 사용하여 분석하는 것.
• 비선형 매개변수 변환('매개변수 속임수')을 통한 고전적 시스템이 양자 유사 상관관계를 재현할 수 있는지 탐색하는 것.
• 특히 비균일성과 고전적 경계 위반을 포함한 이러한 매개변수 속임수의 물리적 일관성과 제약 조건을 평가하는 것.

제안 방법

• 밀도 연산자(양성, 자기수반, 추적 1)인 $ \rho_\psi $ 및 $ \rho_\varphi $를 사용하여 일반화된 양자 확률 형식 $ P(\psi,\varphi) = \mathrm{Tr}(\rho_\psi \rho_\varphi) $ 를 정의하며, 이는 반드시 사영 연산자일 필요가 없다.
• 정규 연산자의 카르테시안 또는 극좌표 분해를 사용하여 일반 관측량 측정을 동시에 측정 가능한 자기수반 또는 유니터리 연산자로 환원하는 것.
• 피토프스키의 프레임워크를 활용하여 비불포괄 이벤트 구조(예: 자동기계 논리, 일반화된 우른 모델)를 산란 없는 상태의 볼록 조합으로 모델링하는 것.
• 극단적 상태로 정의된 정점들의 볼록 hull로 상관 다면체를 구성하여 모든 가능한 고전적 상관관계의 집합을 표현하는 것.
• 비선형이며 전단사인 매개변수 변환 $ \theta \mapsto \Delta $ 를 도입하여 고전적 상관 함수를 양자 상관 함수처럼 모방하는 것.
• 푸리에 급수 전개를 사용하여 매개변수 속임수를 정의하며, 예를 들어 $ P^{=}_{cl}(\Delta) = \frac{1}{2} + \frac{2}{\pi} \sum_{k=0}^{n} \frac{\sin((2k+1)(2\Delta/\pi - 1))}{2k+1} $ 와 같이 표현되며, 극한에서 단계 함수로 수렴하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 순수 상태를 초월해 혼합 상태를 상태이자 관측량으로 포함하는 방식으로 양자 확률이 일관되게 일반화될 수 있는가?
• RQ2 비불포괄 이벤트 구조(예: 자동기계 논리, 일반화된 우른 모델)가 고전적 상관 다면체 내에서 어느 정도 표현될 수 있는가?
• RQ3 고전적 시스템이 비선형 매개변수 변환을 통해 양자 상관관계를 재현할 수 있으며, 만약 가능하다면 어떤 조건에서 가능한가?
• RQ4 비선형 매개변수 속임수에 의해 부과되는 물리적 및 수학적 제약 조건—특히 비균일성—은 무엇인가?
• RQ5 매개변수 속임수는 티르셀슨 경계를 초월할 수 있으며, 이는 고전-양자 경계에 대해 어떤 함의를 갖는가?

주요 결과

• 일반화된 확률 규칙 $ P(\psi,\varphi) = \mathrm{Tr}(\rho_\psi \rho_\varphi) $ 는 두 연산자가 모두 혼합 상태일 경우에도 양성과 유계성($ 0 \leq P \leq 1 $)을 유지한다.
• 정규 연산자는 그 카르테시안 또는 극좌표 분해 성분을 동시에 측정할 수 있으며, 이들이 서로 가환할 경우 작동 가능성이 있다.
• 비불포괄 논리(예: 자동기계 논리)의 상관 다면체는 산란 없는 상태의 볼록 hull에서 유도되므로 고전적 상관 다면체의 부분집합이다.
• 비선형 푸리에 기반 변환을 통해 정의된 매개변수 속임수는 티르셀슨 경계를 초월하는 양자 상관 함수를 재현할 수 있다.
• $ \theta = \frac{\pi}{2} + 2 \sum_{k=0}^{n} \frac{\sin((2k+1)(2\Delta/\pi - 1))}{2k+1} $ 와 같은 변환 $ \theta \mapsto \Delta $ 을 통해 특정 매개변수 재정의 조건 하에서 고전적 시스템이 양자 행동을 모방할 수 있다.
• 비록 양자 상관관계를 모방하더라도 매개변수 속임수는 비균일성을 도입하여 표준 물리적 매개변수 체계에서 기대하는 등방성과 선형성을 파괴한다.