[논문 리뷰] On Generating functions of Diagonals Sequences of Sheffer and Riordan Number Triangles

Wolfdieter Lang|arXiv (Cornell University)|2017. 08. 04.

Advanced Combinatorial Mathematics인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 라그랑주 역행렬을 사용하여 셰퍼 수삼각형과 리오르단 수삼각형의 대각선 수열의 일반형 생성함수(o.g.f.)에 대한 지수형 생성함수(e.g.f.)를 유도한다. 일반적인 셰퍼 삼각형의 대각선 수열의 o.g.f.에 대한 e.g.f.를 위한 일반 공식을 수립하고, 리오르단 삼각형과 파스칼 삼각형의 대각선 원소 곱에 대한 로그형 생성함수(l.g.f.)를 도출하여 특정 경우의 분자 다항식의 계수 삼각형을 얻는다.

ABSTRACT

The exponential generating function of ordinary generating functions of diagonal sequences of general Sheffer triangles is computed by an application of Lagrange's theorem. For the special Jabotinsky type this is already known. An analogous computation for general Riordan number triangles leads to a formula for the logarithmic generating function of the ordinary generating functions of the product of the entries of the diagonal sequence of Pascal's triangle and those of the {Riordan triangle. For some examples these ordinary generating functions yield in both cases coefficient triangles of certain numerator polynomials.

연구 동기 및 목표

• 일반적인 셰퍼 삼각형의 대각선 수열의 일반형 생성함수(o.g.f.)에 대한 지수형 생성함수(e.g.f.)를 유도하는 것.
• 이 분석을 일반 리오르단 수삼각형으로 확장하여 리오르단 삼각형과 파스칼 삼각형의 대각선 원소 곱에 중점을 두는 것.
• 이러한 대각선 수열의 o.g.f.에 대한 분자 다항식의 계수 삼각형을 규명하는 것.
• 조합적 수삼각형의 대각선 생성함수를 유도하기 위해 라그랑주 역행렬을 사용하는 통합 프레임워크를 제공하는 것.

제안 방법

• 셰퍼 삼각형의 대각선 수열의 o.g.f.에 대한 e.g.f.를 유도하기 위해 형식적 멱급수 항등식 형태의 라그랑주 정리의 응용.
• 생성함수 관계 $ y = x(1 - t\hat{f}(x)) $의 복합역함수를 사용하여 e.g.f.를 셰퍼 함수 $ g $ 와 $ \hat{f} $ 로 표현.
• 리오르단 삼각형의 경우, 리오르단 삼각형과 파스칼 삼각형의 대각선 원소 곱에 대한 일반형 생성함수(o.g.f.)에 대한 로그형 생성함수(l.g.f.)를 유도.
• 음수 상한 계수를 가진 이항계수를 항등식 $ \binom{-n}{p} = (-1)^p \binom{p+n-1}{p} $ 를 사용하여 형식적 멱급수 전개를 다루기 위해 변환.
• 생성함수와 삼각형 원소 간의 연결을 위해 계수 추출 $[a^n] h(a)$ 를 기반으로 하는 방법.
• 유도된 급수들이 특정 예시에서 분자 다항식의 계수 삼각형을 생성함을 확인.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떻게 하면 셰퍼 삼각형의 대각선 수열의 o.g.f.에 대한 e.g.f.를 체계적으로 유도할 수 있는가?
• RQ2 리오르단 삼각형과 파스칼 삼각형의 대각선 원소 곱에 대한 생성함수의 구조는 어떠한가?
• RQ3 이러한 곱에 대한 유도된 생성함수는 o.g.f.의 대각선에 대한 로그형 생성함수로 표현될 수 있는가?
• RQ4 이러한 대각선 곱의 o.g.f.가 언제 분자 다항식의 계수 삼각형을 유도하는가?
• RQ5 라그랑주 역행렬은 조합적 수삼각형의 대각선 생성함수 유도에 어떻게 기여하는가?

주요 결과

• 셰퍼 삼각형의 대각선 수열의 o.g.f.에 대한 e.g.f.는 $ EGDS(y,t) = H(x(t;y)) - H(0) $ 로 주어지며, 여기서 $ H(x) = \int g(x)\,dx $ 이고, $ x(t;y) $ 는 $ y = x(1 - t\hat{f}(x)) $ 의 복합역함수이다.
• 자보틴스키 유형의 셰퍼 삼각형의 경우 이 결과는 기존의 공식을 회복하지만, 이 방법은 모든 셰퍼 삼각형으로 일반화된다.
• 리오르단 삼각형의 경우, 리오르단 삼각형과 파스칼 삼각형의 대각선 원소 곱에 대한 o.g.f.에 대한 로그형 생성함수는 $ \sum_{d=0}^\infty \frac{y^{d+1}}{d+1} \sum_{p=0}^\infty \binom{d+p}{p} R(d+p,p) t^p $ 로 유도된다.
• 특정 예시들은 분자 다항식의 계수 삼각형을 유도하며, 예를 들어 파스칼 삼각형의 대각선에 대해 $ \sum_{k=0}^d \binom{d}{k}^2 x^k $ 가 해당된다.
• 이 방법은 형식적 멱급수 기법과 조합적 수삼각형을 효과적으로 연결하여 대각선의 생성함수를 체계적으로 계산할 수 있도록 한다.
• 유도 과정은 분자 다항식의 계수 삼각형이 셰퍼 및 리오르단 경우 모두 생성함수의 구조에서 자연스럽게 유도됨을 확인한다.