[논문 리뷰] On geodesic mappings of manifolds with affine connection

Josef Mikeš, Irena Hinterleitner|ArXiv.org|2009. 05. 12.

Geometric Analysis and Curvature Flows참고 문헌 10인용 수 65

한 줄 요약

이 논문은 $C^1$ 다양체에 대한 애핀 접속이 존재할 경우, 그 다양체가 전역적으로 등압력 다양체(대칭 리치 텐서를 가진 다양체)로 지오데식 매핑을 통해 전역적으로 매핑될 수 있음을 증명한다. 이는 전역적 프로젝티브 등압력성의 성립을 보장한다. 구성 방법은 원래 접속과 $C^2$ 메트릭의 리만-레비치비타 접속 간의 차이로부터 유도된 전역적으로 정의된 1형식 $ \psi$를 사용하며, 이는 목표 다양체가 등압력이 되고 지오데식선이 유지됨을 보장한다.

ABSTRACT

In this paper we prove that all manifolds with affine connection are globally projectively equivalent to some space with equiaffine connection (equiaffine manifold). These manifolds are characterised by a symmetric Ricci tensor.

연구 동기 및 목표

• 애핀 접속을 가진 다양체에 대한 전역적 프로젝티브 메트리시블리티 문제를, 등압력 다양체와의 프로젝티브 동치성으로 보여줌으로써 해결한다.
• 이전의 국소적 결과인 프로젝티브 등압력성 결과를 전역적 설정으로 확장한다.
• 모든 $C^1$ 다양체에 애핀 접속이 존재할 경우, 등압력 목표 다양체로의 지오데식 매핑을 명시적으로 구성한다.
• 목표 다양체의 리치 텐서가 대칭임을 입증함으로써 등압력성을 확인한다.
• 지오데식 매핑과 메트리시블리티의 연구를 통합하기 위해 문제를 등압력 기하학으로 환원한다.

제안 방법

• 다양체 $M$ 위에 전역적으로 $C^2$ 리만 메트릭 $\tilde{g}$를 구성한다.
• $\tilde{g}$에 관련된 리만-레비치비타 접속 $\tilde{\nabla}$를 정의한다.
• 다음과 같이 1형식 $\psi$를 정의한다: $\psi(X) = -\frac{1}{n+1} \text{trace}(Y \mapsto \nabla_X Y - \tilde{\nabla}_X Y)$.
• 리만-레비치비타 방정식 $\bar{\nabla}_X Y = \nabla_X Y + \psi(X)Y + \psi(Y)X$를 사용하여 $M$ 위에 새로운 애핀 접속 $\bar{\nabla}$를 정의한다.
• 리치 텐서 변환 공식을 사용하여 $\bar{Ric}(X,Y) = \bar{Ric}(Y,X)$임을 보임으로써 $\bar{A}_n = (M, \bar{\nabla})$가 등압력임을 검증한다.
• 구성에 의해 $\bar{A}_n$과 $A_n$ 사이의 매핑이 지오데식 매핑임을 확인하고, $\bar{A}_n \in C^1$임을 확인한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 $C^1$ 다양체에 애핀 접속이 존재할 경우, 전역적으로 등압력 다양체로의 지오데식 매핑이 존재하는가?
• RQ2 국소적 프로젝티브 등압력성 결과는 전역 동치성으로 확장 가능한가?
• RQ3 전역적으로 정의된 $C^2$ 메트릭과 그 리만-레비치비타 접속을 사용하여 이러한 지오데식 매핑을 명시적으로 구성할 수 있는가?
• RQ4 지오데식 매핑 하에서 목표 다양체의 리치 텐서가 대칭이 되기 위한 조건은 무엇인가?
• RQ5 프로젝티브 메트리시블리티 문제는 지오데식 매핑을 통해 등압력 다양체로 환원할 수 있는가?

주요 결과

• 모든 $C^1$ 다양체에 애핀 접속이 존재할 경우, 전역적으로 등압력 다양체로의 지오데식 매핑이 존재한다.
• 구성된 목표 다양체 $\bar{A}_n$는 대칭 리치 텐서를 가지며, 이는 등압력임을 확인한다.
• 지오데식 매핑은 $C^2$ 메트릭과 그 관련 리만-레비치비타 접속을 사용하여 명시적으로 구성된다.
• 1형식 $\psi$는 전역적으로 정의되어 있으며, 매핑이 리만-레비치비타 방정식을 만족함을 보장한다.
• 리치 텐서 변환 공식 $\bar{Ric}(X,Y) = Ric(X,Y) + n\psi(X,Y) - \psi(Y,X)$가 성립하며, 이는 목표 다양체에서 대칭성을 유도한다.
• 이전의 국소적 결과를 일반화하여, 모든 $C^1$ 애핀 다양체에 대해 전역적 프로젝티브 등압력성을 확립한다.