[논문 리뷰] On Geometry of Manifolds with Some Tensor Structures and Metrics of Norden Type

Манчо Манев|arXiv (Cornell University)|2017. 01. 01.

Advanced Differential Geometry Research참고 문헌 95인용 수 3

한 줄 요약

이 학위논문은 거의 복소, 거의 접촉, 초복소, 접촉 3-구조를 지닌 다양체의 기하학을 조사하며, 이와 관련된 노르덴 및 허미트-노르덴 유형의 계량을 포함한다—각각의 거의 복소 구조에 대해 반대칭 불변인 가짜리만노프 계량이다. 논문은 균형형 연결의 도입과 분석, 애핀 연결의 분류, 곡률 성질 및 통합 조건의 연구를 통해, 특히 니젠하이스 텐서와 쇼텐-반캄펜 연결을 통해 일반화된 복소 기하학과 중성 부호를 가진 초복소 기하학의 기초 결과를 확립한다.

ABSTRACT

The object of study in the present dissertation are some topics in differential geometry of smooth manifolds with additional tensor structures and metrics of Norden type. There are considered four cases depending on the dimension of the manifold: 2n, 2n + 1, 4n and 4n + 3. The studied tensor structures, which are counterparts in the different related dimensions, are the almost complex/contact/hypercomplex structure and the almost contact 3-structure. The considered metric on the 2n-dimensional case is the Norden metric, and the metrics in the other three cases are generated by it. The purpose of the dissertation is to carry out the following: 1. Further investigations of almost complex manifolds with Norden metric including studying of natural connections with conditions for their torsion and invariant tensors under the twin interchange of Norden metrics. 2. Further investigations of almost contact manifolds with B-metric including studying of natural connections with conditions for their torsion and associated Schouten-van Kampen connections as well as a classification of affine connections. 3. Introducing and studying of Sasaki-like almost contact complex Riemannian manifolds. 4. Further investigations of almost hypercomplex manifolds with Hermitian-Norden metrics including studying of integrable structures of the considered type on 4-dimensional Lie algebra and tangent bundles with the complete lift of the base metric; introducing of associated Nijenhuis tensors in relation with natural connections having totally skew-symmetric torsion as well as quaternionic Kähler manifolds with Hermitian-Norden metrics. 5. Introducing and studying of manifolds with almost contact 3-structures and metrics of Hermitian-Norden type and, in particular, associated Nijenhuis tensors and their relationship with natural connections having totally skew-symmetric torsion.

연구 동기 및 목표

• 거의 복소 및 거의 접촉 구조를 지닌 다양체에 대해, 노르덴 유형의 계량(가짜리만누프, 중성 부호)을 갖는 포괄적인 기하학적 프레임워크를 개발하는 것.
• B-계량을 지닌 거의 접촉 다양체 위의 애핀 연결을 분류하고, 기하학적 구조와 호환되는 균형형 연결을 구성하는 것.
• 허미트-노르덴 계량을 지닌 거의 초복소 및 거의 접촉 3-구조의 통합성 및 곡률 성질을 관련 니젠하이스 텐서와 허미트-노르덴 계량을 통해 연구하는 것.
• 이러한 구조에 적응된 균형형 연결 및 쇼텐-반캄펜 연결의 존재성과 성질을 연구하는 것.
• 일반화된 복소 기하학과 허미트-노르덴 계량 간의 관계를 탐색하며, 특히 접선다양체와 리 대수에서의 응용을 다루는 것.

제안 방법

• 부드러운 다양체 위에서 미분기하 기법을 활용하며, 텐서장, 자기형사상, 계량 호환 조건에 중점을 둔다.
• 노르덴/B-계량을 지닌 거의 복소 및 거의 접촉 다양체 위에 균형형 연결을 도입하고 분석하며, 리베이-시비타 연결과 토판 제약 조건에서 유도한다.
• 거의 접촉 B-계량 구조에 적응된 쇼텐-반캄펜 애핀 연결을 적용하고, 그 곡률과 통합성 조건을 분석한다.
• 거의 초복소 및 거의 접촉 3-구조에 대한 통합 조건을 연구하기 위해 니젠하이스 텐서 분석을 활용한다.
• 기저 계량의 접선다양체 상의 올림을 구성하여 접선다양체에 거의 초복소 허미트-노르덴 구조를 도입한다.
• 구조 상수와 곡률 분석을 통해 4차원 실수 리 대수 위의 초복소 구조에 대해 허미트-노르덴 계량을 분류한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 거의 복소 다양체에 대한 노르덴 계량을 지닌 균형형 연결은 무엇이며, 리베이-시비타 연결과의 관계는 어떻게 되는가?
• RQ2 거의 접촉 다양체에 대한 B-계량을 지닌 애핀 연결은 어떻게 분류할 수 있으며, 그 존재성 및 유일성 조건은 무엇인가?
• RQ3 쇼텐-반캄펜 연결은 거의 접촉 B-계량 구조 기하학에서 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 거의 초복소 다양체에 대한 허미트-노르덴 계량을 지닌 경우, 관련된 니젠하이스 텐서는 통합성 특성을 어떻게 특징짓는가?
• RQ5 허미트-노르덴 계량을 지닌 퀼리니안 카일러 다양체의 곡률 및 구조적 성질은 무엇인가?

주요 결과

• 논문은 거의 복소 다양체에 대한 균형형 연결을 구성하고 특성화하며, 이들의 존재성과 노르덴 계량의 쌍둥이 교환에 대한 불변성을 보여준다.
• B-계량을 지닌 거의 접촉 다양체 위의 애핀 연결에 대한 완전한 분류를 제공하며, 이러한 연결이 유일하게 결정되는 조건을 규명한다.
• 쇼텐-반캄펜 연결은 거의 접촉 B-계량 구조에 적응되었으며, 곡률과 토판 측면에서 그 성질이 분석된다.
• 허미트-노르덴 계량을 지닌 거의 초복소 다양체의 경우, 관련된 니젠하이스 텐서가 계산되고 통합 조건 하에서 0이 됨을 보여주며, 이는 복소 구조를 특징짓는다.
• 4차원 실수 리 대수 위의 초복소 구조에 대해 허미트-노르덴 계량을 분류하며, 특정한 대수적 모델과 곡률 불변량을 규명한다.
• 논문은 Sasaki-유사한 거의 접촉 복소 리만 다양체에 대해 허미트-노르덴 계량을 지닐 경우 특정 곡률 대칭성을 가지는 균형형 연결이 존재함을 확립한다.