[논문 리뷰] On Gerber-Shiu functions and optimal dividend distribution for a Lévy risk-process in the presence of a penalty function

Florin Avram, Zbigniew Palmowski외 1명|arXiv (Cornell University)|2011. 10. 22.

Probability and Risk Models참고 문헌 48인용 수 45

한 줄 요약

이 논문은 파산 시 손실 함수와 고정 거래비용을 고려한 스펙트르alli 음수 레비 리스크 과정에 대한 최적 배당 분배 문제를 해결한다. 가치 함수가 해밀턴-자코비-벨리만(HJB) 방정식의 유일한 스토크라스틱 해임을 증명하고, 게르베르-샤우 함수를 사용하여 단일 배당 밴드 전략의 최적성에 필요한 충분조건을 규명하여, 보험 리스크 이론에서 이러한 스토크라스틱 제어 문제의 클래스에 대해 완전한 해석적 해를 제공한다.

ABSTRACT

This paper concerns an optimal dividend distribution problem for an insurance company which risk process evolves as a spectrally negative L\'{e}vy process (in the absence of dividend payments). The management of the company is assumed to control timing and size of dividend payments. The objective is to maximize the sum of the expected cumulative discounted dividend payments received until the moment of ruin and a penalty payment at the moment of ruin which is an increasing function of the size of the shortfall at ruin; in addition, there may be a fixed cost for taking out dividends. A complete solution is presented to the corresponding stochastic control problem. It is established that the value-function is the unique stochastic solution and the pointwise smallest stochastic supersolution of the associated HJB equation. Furthermore, a necessary and sufficient condition is identified for optimality of a single dividend-band strategy, in terms of a particular Gerber-Shiu function. A number of concrete examples are analyzed.

연구 동기 및 목표

• 보험사의 순자산이 스펙트르alli 음수 레비 과정을 따를 때 최적의 배당 분배 문제를 해결하기 위해.
• 파산 시 부족 금액에 따라 달라지는 손실 함수를 도입하여 파산의 금융적 영향을 반영하기 위해.
• 실제 거래 마찰을 모델링하기 위해 배당 지급과 관련된 고정비용을 고려하기 위해.
• 단일 배당 밴드 전략의 최적성 조건을 게르베르-샤우 함수를 핵심 분석 도구로 사용하여 규명하기 위해.
• 가치 함수가 관련된 해밀턴-자코비-벨리만(HJB) 방정식의 유일한 스토크라스틱 해이자 점별로 가장 작은 스토크라스틱 상위해임을 입증하기 위해.

제안 방법

• 파산 시 흡수와 부족 금액에 대한 손실 함수를 포함한 특이 스토크라스틱 제어 문제로 문제를 수립한다.
• 레비 생성자 기반의 적분미분 연산자를 포함하는 최적 가치 함수를 기술하는 해밀턴-자코비-벨리만(HJB) 방정식을 유도한다.
• 스펙트르alli 음수 레비 과정과 관련된 스케일 함수 $W^{(q)}$를 사용하여 가치 함수를 표현하고 명시적 해를 도출한다.
• 배당 밴드 전략의 최적성 특성을 기술하기 위한 핵심 분석 도구로 게르베르-샤우 함수 $G(b^-, y)$를 도입한다.
• 검증 정리를 적용하여 가치 함수가 HJB 방정식의 최소 스토크라스틱 상위해임을 증명한다.
• 라플라스 변환과 푸비니 정리를 사용하여 제어 정책의 단조성 및 최적성 조건을 분석한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 스펙트르alli 음수 레비 리스크 과정에 파산 시 손실 함수가 존재할 때, 단일 배당 밴드 전략이 최적일 조건은 무엇인가?
• RQ2 고정 거래비용을 포함함으로써 최적 배당 전략의 구조에는 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 게르베르-샤우 함수는 어떻게 배당 밴드 전략의 최적성 특성을 기술하는가?
• RQ4 가치 함수는 스케일 함수 $W^{(q)}$와 레비 과정의 특성과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ5 가치 함수는 해밀턴-자코비-벨리만(HJB) 방정식의 유일한 스토크라스틱 해이자 가장 작은 스토크라스틱 상위해로 특징지어질 수 있는가?

주요 결과

• 가치 함수는 관련된 해밀턴-자코비-벨리만 방정식의 유일한 스토크라스틱 해이자 점별로 가장 작은 스토크라스틱 상위해이다.
• 단일 배당 밴드 전략의 최적성에 필요한 충분조건은 게르베르-샤우 함수 $G(b^-, y)$로 표현되며, 특히 $G(b^-, b^+ + c) < G(b^-, b^+)$ for all $c > 0$ 를 만족해야 한다.
• 최적성 조건은 게르베르-샤우 함수 $G(b^-, y)$와 그 변환된 형태 $G^\#(y)$의 궁극적 단조성과 동치이다.
• 고정비용이 없는 경우($K=0$), 라플라스 변환을 통해 최적성 조건이 유도되며, 이는 $\mathcal{L}g(\theta) \cdot \frac{\theta}{\psi(\theta) - q} = \frac{e^{\theta b^+}}{\psi(\theta) - q} \int_{[b^+,\infty)} e^{-\theta z} Z^{(q,\theta)'}(z) G(dz)$ 로 표현되며, 이는 완전히 단조 증가함을 보인다.
• 강한 마코프 성질과 지배 수렴 정리를 사용한 검증 추론을 통해, $|x-y| \to 0$ 일 때 $f_\varepsilon(x,y)$ 의 극한을 고려함으로써 가치 함수의 연속성을 확립한다.
• 유계 변동성 케이스에서는 추정식 $f_\varepsilon(x,y) \leq \text{sup}_{x\in[0,\delta]} V_w(x) - w(-\delta) \cdot E^y[e^{-q\tau_\delta^\pi} \mathbf{1}_{\{\tau_\delta^\pi < \tau_0^\pi\}}]$ 의 두 번째 인자가 $\delta \to 0$ 일 때 0으로 수렴하여 가치 함수의 연속성을 보장한다.