[논문 리뷰] On Girsanov's transform for backward stochastic differential equations

Gechun Liang, Arnaud Lionnet외 1명|arXiv (Cornell University)|2010. 11. 14.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 14인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 후행 확률적 미분 방정식(BSDE)의 맥락에서 Girsanov의 정리와 함께 비선형 캐머런-마르틴 공식을 비선형 편미분방정식(quasi-linear parabolic PDEs)의 해에 대해 수립한다. 측도 변화를 통한 확률적 표현을 유도하고 국소 확률적 흐름을 구성하며, Itô의 마르팅글 표현과 측도 변화에 대한 밀도 과정의 불변성에 기반해 비즈무트 유형의 공식과 기울기 추정치를 증명한다.

ABSTRACT

By using a simple observation that the density processes appearing in Ito's martingale representation theorem are invariant under the change of measures, we establish a non-linear version of the Cameron-Martin formula for solutions of a class of systems of quasi-linear parabolic equations with non-linear terms of quadratic growth. We also construct a local stochastic flow and establish a Bismut type formula for such system of quasi-linear PDEs. Gradient estimates are obtained in terms of the probability representation of the solution. Another interesting aspect indicated in the paper is the connection between the non-linear Cameron-Martin formula and a class of forward-backward stochastic differential equations(FBSDEs).

연구 동기 및 목표

• 후행 SDE, FBSDE, 비선형 편미분방정식 간 Girsanov의 측도 변화 기법을 통합하기 위해.
• 비선형 항의 제곱 성장이 포함된 비선형 설정으로 고전적 캐머런-마르틴 공식을 확장하기 위해.
• 리프시츠이지만 유계가 아닌 이동 계수를 가진 비선형 편미분방정식의 해에 대한 확률적 표현을 수립하기 위해.
• 확률적 흐름과 마르팅글 표현을 이용해 이러한 시스템에 대한 비즈무트 유형의 공식과 기울기 추정치를 유도하기 위해.
• 비선형 캐머런-마르틴 공식과 정방향-후행 SDE(FBSDE) 간의 관계를 명확히 하기 위해.

제안 방법

• 측도 변화에 따른 밀도 과정의 불변성을 활용해 비선형 변환을 도출하기 위해 Itô의 마르팅글 표현 정리에서 밀도 과정의 불변성을 이용한다.
• Girsanov의 정리를 BSDE 프레임워크에서 적용하여 브라운 운동을 변형함으로써 측도 변화를 통한 해의 표현을 가능하게 한다.
• 해 $Y(\theta)_t$ 와 그 도함수에 의해 구동되는 SDE를 통해 국소 확률적 흐름 $X(\theta)_t$ 를 구성한다.
• Itô의 공식을 $Y_t^i = u^i(x + B_t, T - t)$ 에 적용하여 후행 SDE 시스템 $dY_t^i = -h^i(Y_t, Z_t)dt + \sum_j Z_t^{i,j} dB_t^j$ 를 유도한다.
• Itô 표현 정리를 활용해 마르팅글 부분으로부터 $Z_t$ 를 복원함으로써 닫힌 형태의 해법 가능성을 보장한다.
• 유계 적응 과정의 바나흐 공간에서 고정점 추론을 적용하여 변환된 시스템의 해의 존재성과 유일성을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비선형 편미분방정식의 이동항에서 제곱 성장을 포함하는 비선형 설정으로 Girsanov의 정리를 일반화할 수 있는가?
• RQ2 비선형 항의 제곱 성장이 있는 비선형 편미분방정식의 해에 대한 확률적 표현은 무엇인가?
• RQ3 비선형 캐머런-마르틴 공식은 비리프시츠 계수를 가진 정방향-후행 SDE(FBSDE)와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ4 확률적 흐름과 측도 변화를 이용해 비선형 포물형 시스템에 대한 비즈무트 유형의 공식을 도출할 수 있는가?
• RQ5 측도 불변 밀도 과정과 확률적 표현을 통해 이러한 시스템의 해에 대한 기울기 추정치는 무엇인가?

주요 결과

• 비선형 항의 제곱 성장이 포함된 비선형 편미분방정식의 일정한 클래스에 대해 비선형 캐머런-마르틴 공식이 수립되었다.
• 해 $u(x,t)$ 는 측도 변화를 통해 유도된 유계 적응 과정 $\xi_t$ 를 사용해 $u(x,t) = \mathbb{E}^\mathbb{P}[\xi_t(\cdot,x)]$ 로 표현된다.
• 비즈무트 유형의 공식이 증명되었다: $\nabla^j u(x,t) = \mathbb{E}^\mathbb{P}[\nabla^j \xi_t(\cdot,x)]$ for $j=0,1,2$, 해의 도함수를 조건부 기대와 연결한다.
• 확률적 표현에 기반한 기울기 추정치가 확보되었으며, 이는 $C_0$, $C_1$, $d$, 및 시간 $T$ 에 따라 결정되는 경계를 가진다.
• 충분히 작은 $T$ 에 대해 $\mathbf{H}_T$ 내에 유일한 고정점 $\xi$ 가 존재하여 해 표현의 존재성과 유일성을 보장한다.
• 확률적 흐름 $X(\xi)_t$ 는 거의 확실히 $s \leq t \leq T$ 에 대해 $u(x + \tilde{B}(\xi)_s, t-s) = Y(\xi)_s$ 와 $\nabla u(x + \tilde{B}(\xi)_s, t-s) = Z(\xi)_s$ 를 만족한다.