[논문 리뷰] On global inverse and implicit functions

Olivia Gutú|arXiv (Cornell University)|2015. 08. 27.

Advanced Differential Geometry Research참고 문헌 39인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 바나흐 공간 사이의 비선형 프레드홀름 연산자에 대해 비음성 지수를 갖는 전역 역함수 정리 수립하며, 표면성 지표를 포함한 거리 조건을 통해 히아다르 적분 조건을 무한차원 설정으로 확장한다. 이는 $ f $ 가 부분사상일 때, $ \varrho(r) = \int_0^r \eta(\rho)\,d\rho $ 이며 $ \eta(\rho) $ 가 표면성 지표를 통해 정의될 경우, $ B_{\varrho}(f(x_0)) \subset f(B_r(x_0)) $ 를 보장하여, 거리 제어 하에 국소적 역함수의 전역성 확장을 보장한다.

ABSTRACT

Since the Hadamard Theorem, several metric and topological conditions have emerged in the literature to date, yielding global inversion and implicit theorems for functions in different settings. Relevant examples are the mappings between infinite-dimensional Banach-Finsler manifolds, which are the focus of this work. Emphasis is given to the nonlinear Fredholm operators of nonnegative index between Banach spaces. The results are based on good local behavior of $f$ at every $x$, namely: $f$ is a local homeomorphism or $f$ is locally equivalent to a projection. The general structure includes a condition that ensures a global property for the fibres of $f$, ideally, expecting to conclude that $f$ is a global diffeomorphism or equivalent to a global projection. A review of such these results and some relationships between different criteria are shown. Also, in this context, a global version of Graves Theorem is obtained.

연구 동기 및 목표

• 비선형 프레드홀름 연산자에 대해 바나흐 공간 간의 무한차원 설정으로 히아다르의 전역 역함수 정리를 일반화하는 것.
• 국소 위상동형사상 또는 부분사상이 전역 미분동형사상 또는 전역 사영이 되도록 보장하는 충분한 거리 및 위상 조건을 설정하는 것.
• 표면성 지표 $ \eta(\rho) $ 를 사용하여 반경 $ \varrho(r) $ 를 추정함으로써 그라브스 정리의 전역 형태를 제공하는 것, 즉 $ B_{\varrho}(f(x_0)) \subset f(B_r(x_0)) $ 를 만족시키는 것.

제안 방법

• 표면성 지표 $ \eta(\rho) = \inf_{\|x-x_0\|=\rho} \text{Sur}\,df(x) $ 를 사용하여 전역 역함수를 위한 거리 조건을 정의한다.
• 지역적으로 리프시츠 연속인 $ df $ 의 우측역함수 $ s $ 를 통해 경로 끌기 성질을 적용하고, $ \partial_t q = s(q)w $ 를 만족하는 준유동 $ q(t,x,w) $ 를 구성한다.
• 지역 역함수를 경로 沿해 연장하는 방식의 단조성 유형의 추론을 사용하여 국소 역함수의 전역 확장을 보장한다.
• 이미지가 공집합이 아닌 구 $ B_r(x_0) $ 에서의 구 $ B_{\varrho}(f(x_0)) $ 를 포함하기 위해 조건 $ \int_0^r \eta(\rho)\,d\rho = \varrho(r) $ 를 도입한다.
• 준유동 $ q(t,x,w) $ 의 최대 존재성을 보장하기 위해 바나흐-핀슬러 다양체의 완비성과 초기 조건에 대한 연속적 의존성을 이용한다.
• 모순 증명을 통해 준유동이 $ t \in [0,1) $ 에서 $ B_r(x_0) $ 내부에 유지되며, $ |w| < \varrho(r) $ 일 경우 해가 $ t=1 $ 를 초월해 계속 확장될 수 있음을 보여, 최대성에 모순된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 바나흐-핀슬러 다양체 사이의 국소 위상동형사상이 전역 미분동형사상이 되기 위한 거리 및 위상 조건은 무엇인가?
• RQ2 표면성 지표 $ \eta(\rho) $ 를 사용하여 히아다르 적분 조건을 무한차원 설정으로 일반화할 수 있는가?
• RQ3 부분사상 $ f $ 에 대해 $ B_{\varrho}(f(x_0)) \subset f(B_r(x_0)) $ 를 만족시키는 정확한 반경 $ \varrho(r) $ 는 무엇이며, 표면성 지표와의 관계는 어떻게 되는가?
• RQ4 조건 $ \int_0^r \eta(\rho)\,d\rho = \varrho(r) $ 가 경로 끌기 및 준유동 연장에 의해 어떻게 전역 역함수성을 보장하는가?
• RQ5 팔라이스-스미스 조건 또는 유사한 컴팩트니스 기준은 전역 역함수 정리에서 얼마나까지 거리 조건으로 대체될 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 $ \eta(\rho) = \inf_{\|x-x_0\|=\rho} \text{Sur}\,df(x) $ 이면 $ \varrho(r) = \int_0^r \eta(\rho)\,d\rho $ 가 $ B_{\varrho}(f(x_0)) \subset f(B_r(x_0)) $ 를 만족함을 증명하며, 이는 그라브스 정리의 전역 형태를 제공한다.
• $ |w| < \varrho(r) $ 일 경우, 경로 $ p(t) = f(x_0) + tw $ 는 $ B_r(x_0) $ 내부의 경로 $ q(t,x_0,w) $ 로 끌려오며, 이에 따라 $ f(q(1,x_0,w)) = f(x_0) + w \in f(B_r(x_0)) $ 가 보장된다.
• 준유동 $ q(t,x,w) $ 는 $ t \in [0,1) $ 에 대해 모든 $ t $ 에 대해 존재하며, $ f(q(t,x,w)) = f(x) + tw $ 를 만족하고, $ |w| < \varrho(r) $ 이면 모든 $ t \in [0,1) $ 에 대해 $ d_X(q(t,x,w),x_0) < r $ 를 만족한다.
• $ \eta(r) > 0 $ 이면 해는 $ B_r(x_0) $ 내부에 머물며, 최대 간격 $ J(x_0,w) $ 는 $ t=1 $ 를 초월한다. 만약 $ b(x_0,w) \leq 1 $ 이면 최대성에 모순된다.
• $ \eta(r) = 0 $ 인 경우에도 근접한 $ r' < r $ 를 사용하여 $ \eta(r') > 0 $ 인 경우로 근사화하고, $ \varrho(r) = \int_0^{r_0} \eta(\rho)\,d\rho $ 를 설정하며, $ r_0 = \sup\{\rho > 0 : \eta(\rho) > 0\} $ 로 정의한다.
• 표면성 지표 $ \eta(\rho) $ 는 유한차원에서 야코비안 행렬식의 하한값을 일반화한 거리적 일반화로서, 히아다르 유형 정리를 무한차원 설정으로 확장하는 데 기여한다.