[논문 리뷰] On global solutions to a viscous compressible two-fluid model with unconstrained transition to single-phase flow in three dimensions

Huanyao Wen|arXiv (Cornell University)|2019. 02. 14.

Navier-Stokes equation solutions참고 문헌 26인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 3차원에서 점성 압축성 이상류 모델에 대해 초기 조건이 크거나 불연속일 수 있는 경우에도 전역 유한에너지 약한 해의 존재를 확립한다. 이는 한 상이 점이나 영역에서 사라질 수 있는 제약 없는 상전이를 허용한다. 핵심 기여는 비단조화적이고 다성분 압력 법칙으로 인한 도전을 극복하기 위해 새로운 압력 감소 기법과 도메인 분리 기법을 도입한 것이다. 이는 이sov thermal 상수나 밀도에 대한 제약 조건 없이도 가능하다.

ABSTRACT

We consider the Dirichlet problem for a compressible two-fluid model in three dimensions, and obtain the global existence of weak solution with large initial data and independent adiabatic constants Γ,γ>=9/5. The pressure functions are of two components solving the continuity equations. Two typical cases for the pressure are considered, which are motivated by the compressible two-fluid model with possibly unequal velocities [3] and by a limiting system from the Vlasov-Fokker-Planck/compressible Navier-Stokes system [27] (see also some other relevant models like compressible MHD system for two-dimensional case [24] and compressible Oldroyd-B model with stress diffusion [1]). The lack of enough regularity for the two densities turns out some essential difficulties in the two-component pressure compared with the single-phase model, i.e., compressible Navier-Stokes equations. In this paper, the global existence theory does not require any domination conditions for the initial densities, which implies that transition to each single-phase flow is allowed.

연구 동기 및 목표

• 초기 조건이 크거나 불연속일 수 있는 3차원 점성 압축성 이상류 모델에 대해 전역 약한 해의 존재를 확립한다.
• 이상류에서 단일상 흐름으로의 제약 없는 전이를 허용하며, 한 상이 점이나 영역에서 사라질 수 있도록 한다.
• 이전 연구에서 요구되었던 이sov thermal 상수나 밀도 비율에 대한 제약 조건을 제거한다.
• 이론을 두 차원에서 저항이 없는 압축성 MHD 시스템으로 확장하여 부산물로 얻는다.
• 밀도 추정에서 콤팩턴스를 방해하는 이중 성분 압력 함수의 정규성 부족 문제를 다룬다.

제안 방법

• 인공 점성과 인공 압력을 도입한 Faedo-Galerkin 근사 방법을 사용하여 시스템을 정규화한다.
• 이중 성분 압력 함수 $ P(n,\rho) = n^\rho + \rho^\rho $ 에 대해 변수 감소 기법을 적용하여 비단조화적 행동을 제어한다.
• 절단 함수 $ T_k(\rho), T_k(n) $ 를 기반으로 한 도메인 분리를 적용하여 고밀도 영역을 분리하고 약한 수렴을 관리한다.
• $ n^{\rho+\theta_1}, \rho^{\rho+\theta_2} $ 에 대한 $ L^1 $ 내에서 균일한 유계성을 확립하여 특이성을 제어하고 콤팩턴스를 가능하게 한다.
• $ z \mapsto z\log z $ 의 볼록성과 약한 하향 연속성을 이용하여 $ \rho, n $ 이 $ L^{\gamma_1} $ 과 $ L^{\Gamma_1} $ 에서 강한 수렴을 증명한다. 여기서 $ \gamma_1 < \gamma + \theta_2 $, $ \Gamma_1 < \Gamma + \theta_1 $ 이다.
• 압력에 대한 단조성 가정 없이도 밀도의 콤팩턴스를 확보하기 위해 엔트로피 유형 추정을 간접적으로 적용한 Bresch-Jabin 방법을 사용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 초기 조건이 크거나 불연속일 수 있고 상전이가 제약 없이 이루어지는 3차원 압축성 이상류 모델에 대해 전역 약한 해가 존재할 수 있는가?
• RQ2 이상류 모델에서 이sov thermal 상수 $ \gamma, \Gamma $ 또는 밀도 비율 간의 제약 조건을 제거할 수 있는가?
• RQ3 압력이 비단조화적이고 다성분일 경우 밀도의 콤팩턴스를 어떻게 확보할 수 있는가?
• RQ4 이상류 모델이 저항이 없는 2차원 압축성 MHD 시스템에 대한 통합 프레임워크로 기능할 수 있는가?
• RQ5 이중 성분 압력 함수의 정규성 상실을 다루기 위해 어떤 새로운 분석 기법이 필요한가?

주요 결과

• 초기 조건이 크거나 불연속일 수 있는 3차원 압축성 이중상 유체 모델에 대해 전역 유한에너지 약한 해가 존재한다.
• 모델은 제약 없는 단일상 흐름으로의 전이를 허용한다: 한 상이 점이나 영역에서 사라질 수 있으며, 이sov thermal 상수 $ \gamma, \Gamma $ 또는 밀도 비율에 대한 제약이 없다.
• 이중 성분 압력 $ P(n,\rho) = n^\Gamma + \rho^\gamma $ 는 존재성 증명을 위해 단조성이나 볼록성이 필요하지 않다.
• $ \gamma_1 < \gamma + \theta_2 $, $ \Gamma_1 < \Gamma + \theta_1 $ 인 임의의 $ \gamma_1, \Gamma_1 $ 에 대해 $ \rho $ 와 $ n $ 이 $ L^{\gamma_1}(Q_T) $ 과 $ L^{\Gamma_1}(Q_T) $ 에서 강한 수렴이 확립된다. 여기서 $ \theta_1, \theta_2 > 0 $ 이다.
• 이 방법은 부산물로 2차원에서 저항이 없는 압축성 MHD 시스템에 대한 전역 약한 해를 도출한다.
• 밀도의 콤팩턴스는 새로운 압력 감소 기법과 도메인 분리를 통해 달성되었으며, 이중 성분 압력의 정규성 부족 문제를 극복했다.