[논문 리뷰] On Goodness-of-fit Testing for Ergodic Diffusion Process with Shift Parameter

Ilia Negri, Li Zhou|arXiv (Cornell University)|2012. 03. 29.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 12인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 드리프트에 알려지지 않은 이동 파라미터가 포함된 에르고딕 밀도 과정에 대한 두 가지 Cramér-von Mises 유형의 적합도 검정을 제안한다. 국소 시간과 경험분포함수 추정기와 최대우도추정법을 사용하여, 두 검정 통계량이 알려지지 않은 이동 파라미터에 관계없이 매개변수 자유 극한분포로 수렴함을 입증함으로써, 점근적으로 유효함을 보장한다.

ABSTRACT

A problem of goodness-of-fit test for ergodic diffusion processes is presented. In the null hypothesis the drift of the diffusion is supposed to be in a parametric form with unknown shift parameter. Two Cramer-Von Mises type test statistics are studied. The first one is based on local time estimator of the invariant density, the second one is based on the empirical distribution function. The unknown parameter is estimated via the maximum likelihood estimator. It is shown that both the limit distributions of the two test statistics do not depend on the unknown parameter, so the distributions of the tests are asymptotically parameter free. Some considerations on the consistency of the proposed tests and some simulation studies are also given.

연구 동기 및 목표

• 알려지지 않은 이동 파라미터를 가진 매개변수적 드리프트 모형 하에서 에르고딕 밀도 과정에 대한 적합도 검정을 개발한다.
• 알려지지 않은 매개변수에도 불구하고 검정 통계량이 점근적으로 분포 자유임(ASPF)을 보장한다.
• 국소 시간 추정기로 얻은 불변 밀도의 추정치를 기반으로 한 통계량과 경험분포함수를 기반으로 한 통계량을 비교한다.
• 진정한 드리프트가 이동된 드리프트의 매개변수적 가정에 포함되지 않을 경우 일반적 대립가설 하에서 검정의 일致성을 확립한다.
• 오르누슈타인-울렌벡 과정 설정에서의 시뮬레이션 연구를 통해 접근 방식을 검증한다.

제안 방법

• dX_t = S(X_t)dt + dW_t 로 제어되는 연속시간 관측을 사용한다.
• 귀무가설 H0: S(x) = S*(x - θ) 를 설정하며, 알려지지 않은 이동 파라미터 θ ∈ Θ 를 포함한다.
• 알려지지 않은 이동 파라미터 θ 를 위해 최대우도추정법(MLE)을 적용한다.
• 두 검정 통계량을 구성한다: 국소 시간 추정기로 얻은 불변 밀도의 통계량 δ_T 와 경험분포함수를 기반으로 한 통계량 Δ_T .
• 두 검정 통계량이 알려지지 않은 매개변수 θ 에 의존하지 않는 극한분포로 약한 수렴함을 도출한다.
• 이론적 유도와 오르누슈타인-울렌벡 케이스에서의 시뮬레이션을 통해 점근적 분포 자유 성질을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 드리프트에 알려지지 않은 이동 파라미터가 포함된 경우, 에르고딕 밀도 과정에 대한 적합도 검정이 점근적으로 매개변수 자유로 유지될 수 있는가?
• RQ2 국소 시간 추정기와 경험분포함수 추정기를 기반으로 한 Cramér-von Mises 유형의 통계량이 귀무가설 하에서 매개변수 자유 극한분포를 유지하는가?
• RQ3 진정한 드리프트가 이동된 드리프트의 매개변수적 가정에 포함되지 않을 경우, 제안된 검정이 일반적 대립가설에 대해 일치하는가?
• RQ4 오르누슈타인-울렌벡 과정의 특수한 케이스에서 귀무가설과 대립가설 하에서 검정 통계량은 어떻게 행동하는가?
• RQ5 검정 통계량의 유한표본 성질과 임계값은 무엇이며, 어떻게 시뮬레이션할 수 있는가?

주요 결과

• δ_T 와 Δ_T 라는 두 검정 통계량 모두 알려지지 않은 이동 파라미터 θ 에 의존하지 않는 극한분포로 약한 수렴을 보이며, 이는 점근적 매개변수 자유성 보장을 한다.
• δ_T 의 극한분포는 δ = ∫_{-∞}^{∞} ξ_1(x)^2 dx 로 주어지며, 여기서 ξ_1(x) 는 표준 브라운 운동을 포함하는 가우시안 과정이다.
• Δ_T 의 극한분포는 Δ = ∫_{-∞}^{∞} ξ_2(x)^2 dx 로 주어지며, ξ_2(x) 는 밀도와 분포함수를 포함하는 스토크래틱 적분을 통해 정의된다.
• 검정은 일치한다: 대립가설 하에서 검정 통계량은 무한대로 확률수렴하며, 이는 점근적으로 검정력이 1이 됨을 보장한다.
• 시뮬레이션 연구 결과 이론적 결과가 확인되었으며, 다양한 유의수준에서 δ 와 Δ 의 경험적 분위수는 이론적 기준값과 잘 일치함을 보였다.
• 오르누슈타인-울렌벡 케이스에서는 이동 파라미터의 MLE 가 명시적으로 계산 가능하며, 두 검정 통계량의 극한과정이 닫힌 형태로 유도되었다.