[논문 리뷰] On Graphs Representable by Pattern-Avoiding Words

Yelena Mandelshtam|arXiv (Cornell University)|2016. 08. 26.

semigroups and automata theory참고 문헌 3인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 패턴을 피하는 단어로 표현 가능한 그래프를 조사하며, 123- 및 132-표현 가능한 그래프에 초점을 맞춘다. 모든 원 그래프가 132-표현 가능한 것은 아니며, 이는 132-표현 가능한 그래프가 원 그래프의 진부분집합임을 입증한다. 마찬가지로 123-표현 가능한 그래프 역시 132-표현 가능한 그래프와는 다름. 또한 나무와 완전 그래프에 대한 2-균일 패턴 회피 단어 표현을 특성화한다.

ABSTRACT

In this paper we study graphs defined by pattern-avoiding words. Word-representable graphs have been studied extensively following their introduction in 2000 and are the subject of a book published by Kitaev in 2015. Recently there has been interest in studying graphs represented by pattern-avoiding words. In particular, in 2016, Gao, Kitaev, and Zhang investigated 132-representable graphs, that is, word-representable graphs that can be represented by a word which avoids the pattern 132. They proved that all 132- representable graphs are circle graphs and provided examples and properties of 132-representable graphs. They posed several questions, some of which we answer in this paper. One of our main results is that not all circle graphs are 132-representable, thus proving that 132-representable graphs are a proper subset of circle graphs, a question that was left open in the paper by Gao et al. We show that 123-representable graphs are also a proper subset of circle graphs, and are different from 132-representable graphs. We also study graphs represented by pattern-avoiding 2-uniform words, that is, words in which every letter appears exactly twice.

연구 동기 및 목표

• 132-표현 가능한 그래프와 원 그래프 사이의 관계에 대한 미해결 문제를 해결하기 위해.
• 123-표현 가능한 그래프가 원 그래프의 진부분집합인지 여부와 132-표현 가능한 그래프와의 관계를 규명하기 위해.
• 123 및 132 패턴을 피하는 2-균일 단어로 표현 가능한 그래프를 특성화하기 위해.
• 123 및 132 패턴에 대해 최소한의 비표현 가능한 예시를 식별하기 위해.
• 패턴을 피하는 단어 표현에서 정점 레이블링의 역할을 명확히 하기 위해.

제안 방법

• 순서-동형성과 현의 교차 성질을 사용하여, 모든 132-표현 가능한 그래프가 원 그래프임을 증명하였다.
• 재귀적 구성 방법을 사용하여, 모든 나무가 2-균일 132-피하는 단어로 132-표현 가능하다는 것을 보였다.
• 글자의 순서에 대한 모순을 통해, n > 3인 완전 그래프 Kₙ는 2-균일 단어로 132-표현 가능하지 않음을 입증하였다.
• 경로와 완전 그래프에 대해 2-균일 123-피하는 단어를 구성하여, 이러한 클래스가 123-표현 가능하다는 것을 보였다.
• 모든 원 그래프가 132-표현 가능하지 않음을 보이기 위해, 두 개의 K₄ 그래프의 분리합집합을 반례로 사용하였다.
• 정리 2.9(단어 표현 가능성과 2-균일성)를 적용하여, 2-균일 132-피하는 단어와 원 그래프를 연결하였다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 두 개의 K₄ 그래프의 분리합집합은 최소한의 비-132-표현 가능한 원 그래프인가?
• RQ2 7개 정점으로 이루어진 별 그래프는 최소한의 비-123-표현 가능한 원 그래프인가?
• RQ3 모든 123-표현 가능한 그래프가 원 그래프의 진부분집합인가?
• RQ4 123-표현 가능하고 132-표현 가능한 그래프 클래스는 서로 다름인가?
• RQ5 어떤 그래프들이 123 또는 132 패턴을 피하는 2-균일 단어로 표현 가능한가?

주요 결과

• 모든 원 그래프가 132-표현 가능한 것은 아니며, 이는 132-표현 가능한 그래프가 원 그래프의 진부분집합임을 입증한다.
• 두 개의 K₄ 그래프의 분리합집합은 원 그래프이지만 132-표현 가능하지 않으며, 최소 반례로 기능한다.
• 재귀적 구성 방법을 통해, 모든 나무는 2-균일 132-피하는 단어로 132-표현 가능하다.
• 모든 완전 그래프 Kₙ는 2-균일 123-피하는 단어를 사용하여 123-표현 가능하며, 이는 단어 n(n−1)⋯1n(n−1)⋯1를 통해 보여진다.
• n > 3인 완전 그래ph Kₙ는 글자의 순서에 대한 모순을 통해 2-균일 단어로 132-표현 가능하지 않음을 입증되었다.
• 123-또한 132-표현 가능하지 않은 원 그래프가 존재한다. 예를 들어 특정한 7정점 별형 구조.