[논문 리뷰] On graphs with equal total domination and Grundy total domination number

Tanja Gologranc, Marko Jakovac외 2명|arXiv (Cornell University)|2019. 06. 28.

Advanced Graph Theory Research참고 문헌 9인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 총독립수($γ_t$)와 그룬디 총독립수($γ_{gr}^t$)가 같은 이분할 그래프를 특성화하며, $γ_t = γ_{gr}^t = 4$인 경우 이분할 클래스 내에서 완전히 특성화되어 있음을 증명한다. 반면 $γ_t = γ_{gr}^t = 6$인 경우는 유한 기하학적 구조물 또는 정규로 배치된 라틴 제곱이 존재할 때에만 존재하며, 이는 그래프의 극단적 독립성과 고전적 조합 설계 이론 사이에 깊은 연결 고리를 확립한다.

ABSTRACT

A sequence $(v_1,\ldots ,v_k)$ of vertices in a graph $G$ without isolated vertices is called a total dominating sequence if every vertex $v_i$ in the sequence totally dominates at least one vertex that was not totally dominated by $\{v_1,\ldots , v_{i-1}\}$ and $\{v_1,\ldots ,v_k\}$ is a total dominating set of $G$. The length of a shortest such sequence is the total domination number of G ($γ_t(G)$), while the length of a longest such sequence is the Grundy total domination number of $G$ ($γ_{gr}^t(G)$). In this paper we study graphs with equal total and Grundy total domination number. We characterize bipartite graphs with both total and Grundy total domination number equal to 4, and show that there is no connected chordal graph $G$ with $γ_t(G)=γ_{gr}^t(G)=4$. The main result of the paper is a characterization of regular bipartite graphs with $γ_t(G)=γ_{gr}^t(G)=6$ proved by establishing a surprising correspondence between existence of such graphs and a classical but still open problem of the existence of certain finite projective planes.

연구 동기 및 목표

• 모든 연결 이분할 그래프 중 $γ_t(G) = γ_{gr}^t(G) = 4$를 만족하는 그래프를 특성화하는 것.
• 연결 채우기 그래프 중 $γ_t(G) = γ_{gr}^t(G) = 4$를 만족하는 것이 존재하지 않음을 증명하는 것.
• 6-정규 이분할 그래프 중 $γ_t(G) = γ_{gr}^t(G) = 6$를 만족하는 그래프의 완전한 특성화를 수립하는 것.
• 이러한 6-정규 이분할 그래프의 존재성과 유한 기하학적 구조물 또는 정규로 배치된 라틴 제곱의 존재성 사이에 놀라운 동치 관계를 드러내는 것.
• 총독립수와 그룬디 총독립수 사이의 극단적 동등성의 구조적 및 조합적 함의를 탐색하는 것.

제안 방법

• 유한 기하학적 구조물에서 유도된 정규로 배열된 라틴 제곱을 이용해 정규 이분할 그래프의 가족을 구성하는 것.
• 모든 새로운 정점가 이전에 독립되지 않은 정점을 독립하도록 보장하는 정점 순서를 통한 총독립 수열 정의.
• 이분할 그래프에서의 독립 수열을 모델링하기 위해 초그래프 이중성과 다중그래프 표현을 사용하는 것.
• 모든 정점 유형인 $a_i$, $a_i'$, $b$, $b_j^i$에서의 등차수를 확인하여 구성된 그래프의 정규성 증명.
• 모든 총독립 집합과 그룬디 수열이 이분할의 각 부분에서 정확히 세 개의 정점을 포함해야 한다는 것을 확립하는 것.
• 정규로 배열된 라틴 제곱의 성질을 활용하여, $B$에서 온 두 정점은 $A$의 정점 중 하나를 제외한 나머지를 모두 독립시키며, 반대로도 마찬가지임을 보장하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어느 이분할 그래프가 $γ_t(G) = \gamma_{gr}^t(G) = 4$를 만족하는가?
• RQ2 왜 $γ_t(G) = \gamma_{gr}^t(G) = 4$를 만족하는 연결 채우기 그래프가 존재하지 않는가?
• RQ3 6-정규 이분할 그래프 중 $γ_t(G) = \gamma_{gr}^t(G) = 6$를 만족하는 그래프의 구조적 특성은 무엇인가?
• RQ4 이러한 그래프의 존재성은 유한 기하학적 구조물 또는 정규로 배열된 라틴 제곱과 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ5 모든 연결되고, 거짓 쌍정점이 없는 그래프 중 $γ_t(G) = \gamma_{gr}^t(G) = 6$를 만족하는 그래프는 반드시 정규 이분할 그래프인가?

주요 결과

• 모든 연결 이분할 그래프 중 $γ_t(G) = \gamma_{gr}^t(G) = 4$를 만족하는 그래프는 완전히 특성화되어 있으며, 이러한 그래프는 존재한다.
• 채우기 그래프의 구조적 제약으로 인해 $γ_t(G) = \gamma_{gr}^t(G) = 4$를 만족하는 연결 채우기 그래프는 존재하지 않는다.
• 6-정규 이분할 그래프 중 $γ_t(G) = \gamma_{gr}^t(G) = 6$를 만족하는 그래프가 존재하는 것은 $k=3$일 때 순서 $k-1$의 유한 기하학적 구조물이 존재할 때에만 가능하다.
• 이러한 그래프의 구성은 기하학적 구조물에서 유도된 정규로 배열된 라틴 제곱에 의존하며, 정규성의 정도는 $n-k$이며 여기서 $n$은 정점의 수이다.
• $k=3$일 때, 14개의 정점을 가진 유일한 그래프(동형을 제외한)가 존재하며, 이는 순서 2의 유일한 기하학적 구조물에 대응한다.
• 그래프가 $γ_t(G) = \gamma_{gr}^t(G) = 6$를 만족하는 것은 $k-1$개의 서로 다른 정규로 배열된 라틴 제곱이 존재하는 것과 동치이다.