[논문 리뷰] On greedy algorithms with respect to generalized Walsh system

Sergo A. Episkoposian|arXiv (Cornell University)|2011. 09. 17.

Mathematical Analysis and Transform Methods참고 문헌 10인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 일반화된 월리시 체계의 차수 $ a \geq 2 $ 가 $ L^1[0,1] $ 에서 준-그리디 기저가 아니라는 것을 증명한다. 이는 $ L^1[0,1] $ 에서의 그레디 알고리즘이 수렴하지 않는 함수 $ f \in L^1[0,1] $ 를 구성함으로써 이루어진다. 증명은 특별히 선택된 푸리에 계수를 가진 함수를 구성하고, 연속된 그레디 근사치 간의 차이의 $ L^1 $-노름을 분석함으로써 이루어지며, 이는 일반화된 월리시 딜리클레 커널의 성장으로 인해 0에서 멀리 떨어져 있음을 보여준다.

ABSTRACT

In this paper we proof that there exists a function f(x) belongs to L^1[0,1] such that a greedy algorithm with regard to generalized Walsh system does not converge to f(x) in L^1[0,1] norm, i.e. the generalized Walsh system is not a quasi-greedy basis in its linear span L^1[0,1].

연구 동기 및 목표

• 일반화된 월리시 체계에 대한 그레디 알고리즘의 수렴성을 $ L^1[0,1] $ 에서 조사하는 것.
• 일반화된 월리시 체계가 $ L^1[0,1] $ 의 선형스팬 내에서 준-그리디 기저를 이룬다는지 여부를 결정하는 것.
• 그레디 알고리즘이 $ L^1 $-노름에서 수렴하지 않는 특정한 함수 $ f \in L^1[0,1] $ 를 구성하는 것.
• 연속된 그레디 근사치 간의 $ L^1 $-노름이 0에서 멀리 떨어져 있음을 보여주며, 이는 수렴하지 않음을 시사한다.

제안 방법

• 특정 이진 간격 내의 색인에 대해 $ a_i(f) = \frac{1}{i^2} + \frac{1}{2^i} $ 로 정의된 푸리에 계수를 가진 함수 $ f \in L^1[0,1] $ 를 구성한다.
• 일반화된 월리시 체계 $ \Psi_a $ 에 대해, $ f $ 의 절댓값이 가장 큰 $ m $ 개의 계수의 합으로 그레디 근사자 $ G_m(f, \Psi_a) $ 를 정의한다.
• 일반화된 월리시 체계의 딜리클레 커널 $ D_m(x) $ 를 사용하여 차이 $ \|G_{n_k}(f, \Psi_a) - G_{n_{k+1}}(f, \Psi_a)\|_{L^1} $ 의 $ L^1 $-노름을 분석한다.
• 일련의 $ \{n_k\} $ 이 존재하여 $ \int_0^1 |D_{n_k}(x)| dx > \frac{1}{2a} \log_a n_k $ 임을 보여주는 보조정리를 사용함으로써, 노름이 로그적으로 증가함을 보장한다.
• 차이의 $ L^1 $-노름을 아래에서 $ \frac{1}{4a} - 2^{-a^{(k-1)^2 + 1}} $ 로 유계화하며, 이는 큰 $ k $ 에서 0에서 멀리 떨어져 있음을 보여준다.
• 그러므로 그레디 근사자 수열이 $ L^1[0,1] $ 에서 코시 수열을 이루지 않으며, 따라서 수렴하지 않음을 결론한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반화된 월리시 체계에 대한 그레디 알고리즘이 모든 $ f \in L^1[0,1] $ 에 대해 $ L^1[0,1] $-노름에서 수렴하는가?
• RQ2 차수 $ a \geq 2 $ 인 일반화된 월리시 체계 $ \Psi_a $ 는 $ L^1[0,1] $ 에서 준-그리디 기저인가?
• RQ3 그레디 근사자가 $ L^1 $-노름에서 수렴하지 않는 함수 $ f \in L^1[0,1] $ 를 구성할 수 있는가?
• RQ4 일반화된 월리시 딜리클레 커널의 $ L^1 $-노름은 그레디 알고리즘의 수렴 행동에서 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 일반화된 월리시 체계에 대한 그레디 알고리즘이 $ f $ 에 대해 $ L^1[0,1] $-노름에서 수렴하지 않는 함수 $ f \in L^1[0,1] $ 가 존재한다.
• 차수 $ a \geq 2 $ 인 일반화된 월리시 체계 $ \Psi_a $ 는 $ L^1[0,1] $ 의 선형스팬 내에서 준-그리디 기저가 아니다.
• 연속된 그레디 근사자 간의 차이의 $ L^1 $-노름은 무수히 많은 $ k $ 에 대해 양수인 상한 $ C_1 > 0 $ 으로 유계화되어 있으며, 특히 $ k \geq 4 $ 에서 $ C_1 \geq \frac{1}{4a} $ 이다.
• 이 발산은 일반화된 월리시 딜리클레 커널 $ D_m(x) $ 의 $ L^1 $-노름이 로그적으로 증가하기 때문이며, 이는 근사 오차의 하한을 제공하는 데 사용된다.
• 계수 $ \frac{1}{k^2} + \frac{1}{2^i} $ 를 가진 $ f $ 의 구성은, 딜리클레 커널이 큰 간격에서 $ L^1 $-질량의 상당 부분을 그레디 선택이 포착함을 보장한다.
• 그레디 근사자 차이의 $ L^1 $-노름은 $ \frac{1}{2a k^2} \log_a m_k - 2^{-a^{(k-1)^2 + 1}} $ 로 유계화되며, 이 식은 $ k \to \infty $ 일 때 $ \frac{1}{4a} $ 로 수렴하여 수렴하지 않음을 증명한다.