[논문 리뷰] On groupoids with involutions and their cohomology

El-kaïoum M. Moutuou|arXiv (Cornell University)|2012. 02. 01.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 20인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 국소적으로 컴act한 군oids와 그에 대한 인보리션을 갖는 경우에 대해 Real Čech 코homology ($\check{H}R^\ast$)를 도입하여, 그라디드 확장과 코homological 분류 이론을 Real 설정으로 확장한다. Real 군oids $C^\ast$-역동계의 코homological 프레임워크를 구축하고, Crainic의 미분 코hom로지 결과를 위상적 proper한 Real 군oids로 일반화하며, Real 표현에 대해 고차 코homology의 소멸을 증명한다.

ABSTRACT

We extend the definitions and main properties of graded extensions to the category of locally compact groupoids endowed with involutions. We introduce Real Čech cohomology, which is an equivariant-like cohomology theory suitable for the context of groupoids with involutions. The Picard group of such a groupoid is discussed and is given a cohomological picture. Eventually, we generalize Crainic's result, about the differential cohomology of a proper Lie groupoid with coefficients in a given representation, to the topological case.

연구 동기 및 목표

• 인보리션을 갖는 군oids에 대해 그라디드 확장과 코homology 이론을 확장하는 것.
• Real 군oids를 위한 등변 유사 코homology 이론으로서 Real Čech 코homology ($\\check{H}R^\ast$)를 정의하는 것.
• 인보리션을 갖는 $C^\ast$-역동계에서 Dixmier-Douady 불변량의 코homological 해석을 제공하는 것.
• Proper Lie 군oids에 대한 Crainic의 미분 코hom로지 결과를 위상적 proper한 Real 군oids로 일반화하는 것.

제안 방법

• 인보리션을 갖는 군oids를 정의한다. 이는 $\rho^2 = \text{id}$ 를 만족하는 엄격한 2주기적 호메오모르피즘 $\rho$ 를 갖는다.
• Real 군oids $\mathcal{G}$ 와 Real 아벨군 $\mathrm{S}$ 를 이용해 Real 그라디드 확장을 정의하고, 그 군 $\widehat{\operatorname{Ext}R}(\mathcal{G}, \mathrm{S})$ 를 구성한다.
• Real 구조 호환성을 갖는 단체적 공간의 Čech 코hom로지에 기반해 Real Čech 코homology $\check{H}R^\ast$ 를 구성한다.
• Proper 군oids에 대해 실수 코히어런트 복합체 위에 수축 사상 $h^\star$ 를 수립하여, 약한 계수성을 증명한다.
• Real 구조를 이용해 $\nu(e_1, e_2) = (e_1, -e_2)$ 를 갖는 Real 표현 $F = E \oplus E$ 를 정의하여 $\check{H}R^n$ 과 표준 코homology 사이의 관계를 설정한다.
• Proper 조건 하에서 $\check{H}R^n(\mathcal{G}_\bullet, F^\bullet) = 0$ 를 증명함으로써, 표준 코homology의 소멸을 이끌어낸다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 그라디드 확장과 코homology는 어떻게 인보리션을 갖는 군oids로 일반화될 수 있는가?
• RQ2 인보리션을 갖는 Real 군oids $C^\ast$-역동계를 분류하는 데 적절한 코homology 이론은 무엇인가?
• RQ3 Crainic의 proper Lie 군oids에 대한 미분 코hom로지 결과는 위상적 proper한 Real 군oids로 확장 가능한가?
• RQ4 Real Čech 코homology $\check{H}R^\ast$ 는 ${\mathbb{Z}}_2$-등변 이론처럼 작동하는가? 만약 그렇지 않다면, 어떤 점에서 다를까?
• RQ5 적절한 Real 표현을 사용하여, proper 군oids에 대한 고차 코homology의 소멸이 Real 설정으로 확장될 수 있는가?

주요 결과

• Real Čech 코homology $\check{H}R^\ast$ 는 인보리션을 갖는 $C^\ast$-역동계에서 $\overline{\delta(A)} = \tau^*\delta(A)$ 를 만족하는 2-코호모로지의 코homological 분류를 제공한다.
• $\widehat{\operatorname{Ext}R}(\mathcal{G}, \mathrm{S})$ 는 Real 군oids $\mathcal{G}$ 위에서의 Real 그라디드 $\mathrm{S}$-중심 확장을 분류하는 동치류의 군이다.
• Real Čech 복합체 위에 수축 사상 $h^\star$ 가 구성되었으며, 이는 $n \geq 1$ 에 대해 $h^n \circ d^n + d^{n-1} \circ h^{n-1} = \text{id}$ 를 만족함으로써 약한 계수성을 증명한다.
• Proper 군oids $\mathcal{G}$ 에 대해, $E$ 가 Real $\mathcal{G}$-등변 벡터 번들은 모든 $n \geq 1$ 에 대해 $\check{H}^n(\mathcal{G}_\bullet, E^\bullet)$ 가 소멸한다.
• $n \geq 1$ 에 대해 $\check{H}R^n(\mathcal{G}_\bullet, F^\bullet)$ 의 소멸은 Real 표현 $F = E \oplus E$ 와 $\nu(e_1, e_2) = (e_1, -e_2)$ 를 통해 $\check{H}^n(\mathcal{G}_\bullet, E^\bullet) = 0$ 를 이끌어낸다.
• Real Čech 코호모로지가 등변 유사 행동을 보이지만, 진정으로 ${\mathbb{Z}}_2$-등변 코호모로지 이론은 아니다.