[논문 리뷰] On $(H,\widetilde{H})$-harmonic Maps between pseudo-Hermitian manifolds

Yuxin Dong|arXiv (Cornell University)|2016. 10. 04.

Geometry and complex manifolds참고 문헌 24인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 미분형식이 아닌 수평 에너지 함수의 임계점으로서, 편미분 허미션만다이크 다양체 사이의 $(H,\widetilde{H})$-조화 맵을 도입하며, 수평 에너지 함수의 CR 보처 공식과 팔레이츠 유사 연산자를 유도하여 보처 유사 정리들을 수립한다. 주요 결과로는, 하향 타원형 열 흐름을 통한 존재 정리, 유일한 계속성 성질, 그리고 음의 수평 곡률을 갖는 다양체로의 맵에 대한 강한 구조적 고정성 결과가 포함된다.

ABSTRACT

In this paper, we investigate critical maps of the horizontal energy functional $E_{H,\widetilde{H}}(f)$ for maps between two pseudo-Hermitian manifolds $(M^{2m+1},H(M),J,θ)$ and $(N^{2n+1},\widetilde{H}(N), \widetilde{J},\widetildeθ)$. These critical maps are referred to as $(H,\widetilde{H})$-harmonic maps. We derive a CR Bochner formula for the horizontal energy density $|df_{H, \widetilde{H}}|^{2}$, and introduce a Paneitz type operator acting on maps to refine the Bochner formula. As a result, we are able to establish some Bochner type theorems for $(H,\widetilde{H})$-harmonic maps. We also introduce $(H,\widetilde{H})$-pluriharmonic, $(H,\widetilde{H})$-holomorphic maps between these manifolds, which provide us examples of $(H,\widetilde{H})$-harmonic maps. Moreover, a Lichnerowicz type result is established to show that foliated $(H,\widetilde{ H})$-holomorphic maps are actually minimizers of $E_{H,\widetilde{H}}(f)$ in their foliated homotopy classes. We also prove some unique continuation results for characterizing either horizontally constant maps or foliated $(H,\widetilde{H})$-holomorphic maps. Furthermore, Eells-Sampson type existence results for $(H,\widetilde{H})$-harmonic maps are established if both manifolds are compact Sasakian and the target is regular with non-positive horizontal sectional curvature. Finally, we give a foliated rigidity result for $(H,\widetilde{H})$-harmonic maps and Siu type strong rigidity results for compact regular Sasakian manifolds with either strongly negative horizontal curvature or adequately negative horizontal curvature.

연구 동기 및 목표

• 편미분 허미션만다이크 다양체 위에서 수평 에너지 함수의 임계점으로서 $(H,\widetilde{H})$-조화 맵을 정의하고 연구하는 것.
• 수평 에너지 밀도에 대한 CR 보처 공식을 유도하고, 팔레이츠 유사 연산자를 사용하여 이를 정교화하는 것.
• $(H,\widetilde{H})$-다양한 조화 맵과 $(H,\widetilde{H})$-해석적 맵을 $(H,\widetilde{H})$-조화 맵의 특수한 경우로 도입하는 것.
• 특히 컴팩트 사카스키안 다양체에 대해 곡률과 위상적 조건 하에서 $(H,\widetilde{H})$-조화 맵의 존재 결과를 증명하는 것.
• 수평 곡률이 음수일 경우에 대해 리히너오플리츠 유사 및 수이 유사 강한 구조적 고정성 정리를 수립하는 것.

제안 방법

• 타나카-웹스터 접속과 곡률 항을 사용하여 수평 에너지 밀도 $|df_{H,\widetilde{H}}|^2$ 에 대한 CR 보처 공식을 유도하는 것.
• 보처 공식을 정교화하고 스펙트럼 성질을 분석하기 위해 맵에 작용하는 팔레이츠 유사 연산자를 도입하는 것.
• 횡단 복소 구조의 호환성에 의해 $(H,\widetilde{H})$-해석적 및 $(H,\widetilde{H})$-다양한 조화 맵을 정의하는 것.
• 초기 맵 $h$ 를 갖는 하향 타원형 열 흐름 방정식 $\frac{\partial f_t}{\partial t} = \tau_H(f_t)$ 을 구성하여 국소 좌표계에서 PDE 시스템의 해로 문제를 환원하는 것.
• 해를 목표 다양체로 투영하기 위해 맵 $\rho(y) = y - \Pi(y)$ 를 사용하며, $\int_M |\rho(u)|^2 dv_\theta$ 가 시간에 따라 감소하지 않는다는 것을 증명하는 것.
• 합성 법칙과 곡률 항등식을 적용하여 $\rho(u)$ 의 진화 방정식을 유도하며, $h(M) \subset N$ 이면 모든 $t$ 에 대해 $u(x,t) \in N$ 이라는 것을 보이는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 컴팩트 사카스키안 다양체 사이에서 $(H,\widetilde{H})$-조화 맵이 존재하는 조건은 무엇인가?
• RQ2 $(H,\widetilde{H})$-해석적 맵이 수평 에너지 함수의 최소화자인 경우는 언제인가?
• RQ3 $(H,\widetilde{H})$-조화 맵에 대해 성립하는 고유한 계속성 성질은 무엇이며, 이는 수평 상수 맵 또는 분할 해석적 성질을 어떻게 특징짓는가?
• RQ4 수평 곡률이 음이거나 강하게 음수인 다양체로의 $(H,\widetilde{H})$-조화 맵에 대해 어떤 구조적 고정성 정리가 수립될 수 있는가?
• RQ5 하향 타원형 열 흐름 접근법이 $(H,\widetilde{H})$-조화 맵으로 수렴을 보장하는 방식은 무엇인가?

주요 결과

• 수평 에너지 밀도에 대한 CR 보처 공식이 유도되어, $(H,\widetilde{H})$-조화 맵에 대한 곡률 영향 분석이 가능해졌다.
• 팔레이츠 유사 연산자의 도입을 통해 보처 유사 정리가 정교화되었으며, 곡률과 조화성의 관계를 연결하는 데 기여했다.
• 분할 $(H,\widetilde{H})$-해석적 맵이 분할 호모토피 클래스 내에서 수평 에너지 함수의 최소화자임이 증명되었으며, 리히너오플리츠 유사 결과가 수립되었다.
• 유일한 계속성 정리가 증명되었으며, 이는 수평 상수 맵 또는 분할 $(H,\widetilde{H})$-해석적 맵를 특징짓는다.
• 이엘스-삼슨 유사 존재 정리가 수립되었다: 두 다양체가 모두 컴팩트 사카스키안이며, 목표 다양체의 수평 섹션 곡률이 음이면 $(H,\widetilde{H})$-조화 맵이 존재한다.
• 강한 곡률 조건 하에서 컴팩트 정규 사카스키안 다양체에 대해 분할 구조적 고정성 및 수이 유사 강한 구조적 고정성 정리가 증명되었다.