[논문 리뷰] On Hahn polynomial expansion of a continuous function of bounded variation

René Goertz, Philipp Öffner|arXiv (Cornell University)|2016. 10. 21.

Mathematical functions and polynomials참고 문헌 14인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 등간격 격자에서 Hahn 다항식을 사용한 최소 제곱 근사의 점별 수렴성을 연구한다. 유계 변동 함수에 대해 수렴 조건이 $ n^4/N \to 0 $임을 입증하며, 점근적 등가성과 $ n^{3+\alpha+\max\{1,\alpha\}}/N $를 포함한 오차 한계를 통해 이산 Hahn 전개와 연속 Jacobi 전개를 연결한다. 주요 기여는 격자 세분화 하에 Hahn 다항식 전개의 수량적 수렴 기준을 제시하는 것이다.

ABSTRACT

We consider the well-known method of least squares on an equidistant grid with $N+1$ nodes on the interval $[-1,1]$. We investigate the following problem: For which ratio $N/n$ and which functions, do we have pointwise convergence of the least square operator ${LS}_n^N:\mathcal{C}\left[-1,1 ight] ightarrow\mathcal{P}_n$? To solve this problem we investigate the relation between the Jacobi polynomials $P_k^{α,β}$ and the Hahn polynomials $Q_k\left(\cdot;α,β,N ight)$. Thereby we describe the least square operator ${LS}_n^N$ by the expansion of a function by Hahn polynomials. In particular we present the following result: The series expansion $\sum_{k=0}^n{\hat{f} Q_k}$ of a function $f$ by Hahn polynomials $Q_k$ converges pointwise, if the series expansion $\sum_{k=0}^n{\hat{f} P_k}$ of the function $f$ by Jacobi polynomials $P_k$ converges pointwise and if ${n^4}/N ightarrow 0$ for $n,N ightarrow\infty$. Furthermore we obtain the following result: Let $f\in\left\{g\in\mathcal{C}^1\left[-1,1 ight]:g^\prime\in\mathcal{BV}\left[-1,1 ight] ight\}$ and let $(N_n)_{n}$ be a sequence of natural numbers with ${n^4}/{N_n} ightarrow 0$. Then the least square method ${LS}_n^{N_n}[f]$ converges for each $x\in[-1,1]$.

연구 동기 및 목표

• 연속적인 유계 변동 함수에 대해 $[-1,1]$에서 최소 제곱 연산자 $ {LS}_n^N $의 점별 수렴 조건을 규명하는 것.
• 점근적 극한을 통해 이산 Hahn 다항식 전개와 연속 Jacobi 다항식 전개 간의 연결 고리를 설정하는 것.
• 격자 해상도 $N$과 관련된 해당 Jacobi 전개 오차를 기반으로 Hahn 다항식 근사의 오차 한계를 유도하는 것.
• 함수 $f \in \mathcal{C}^1[-1,1]$ 이며 $f' \in \mathcal{BV}[-1,1]$ 인 경우 최소 제곱 방법의 수렴을 보장하는 비율 $N/n$의 임계 조건을 규명하는 것.

제안 방법

• 이산 내적을 사용하여 최소 제곱 연산자 $ {LS}_n^N[f] $를 잘라낸 Hahn 다항식 전개로 표현하는 것.
• 점근적 관계 $ \lim_{N\to\infty} (-1)^k \binom{k+\alpha}{k} Q_k(\frac{N}{2}(1+x); \alpha,\beta,N) = P_k^{\beta,\alpha}(x) $를 활용하여 Hahn 다항식과 Jacobi 다항식을 연결하는 것.
• 점근 전개와 감마 함수 항등식을 이용해 Hahn 전개 계수와 Jacobi 전개 계수 간의 차이를 추정하는 것.
• Hahn 전개의 점별 오차를 Jacobi 전개 오차와 나머지 항 $ \mathcal{O}(n^{3+\alpha+\max\{1,\alpha\}}/N) $의 합으로 bound하는 것.
• 함수 $\mathcal{C}[-1,1] \cap \mathcal{BV}[-1,1]$ 에 대해 알려진 Jacobi 전개 수렴 결과를 적용하여 Hahn 전개의 수렴성을 유추하는 것.
• 함수 $f \in \mathcal{C}^1[-1,1]$ 이며 $f' \in \mathcal{BV}[-1,1]$ 인 경우, $ n^4/N \to 0 $ 이면 충분한 점별 수렴 조건을 도출하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 등간격 격자에서 Hahn 다항식을 통한 최소 제곱 근사가 연속적인 유계 변동 함수에 대해 점별 수렴하기 위한 $ N/n $ 조건은 무엇인가?
• RQ2 Hahn 다항식 근사의 오차는 해당 Jacobi 다항식 전개의 오차와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ3 Hahn 다항식 전개의 점근적 행동은 $ N \to \infty $ 일 때 어떻게 되며, 연속적인 Jacobi 경우와 어떻게 관련되는가?
• RQ4 특정 격자 세분화 비율 하에 더 매끄러운 함수, 예를 들어 $ f \in \mathcal{C}^1[-1,1] $ 이며 $ f' \in \mathcal{BV}[-1,1] $ 인 경우 Hahn 전개의 수렴을 보장할 수 있는가?

주요 결과

• 함수 $ f \in \mathcal{C}[-1,1] \cap \mathcal{BV}[-1,1] $ 이고 $ n \leq n(\alpha,N) $ 라면, Hahn 전개 오차는 Jacobi 전개 오차와 $ \mathcal{O}(n^{3+\alpha+\max\{1,\alpha\}}/N) $의 합으로 bound된다.
• 해당 Jacobi 전개가 수렴하고 $ n^4/N \to 0 $ 이면 Hahn 전개의 점별 수렴이 보장된다.
• 함수 $ f \in \{ g \in \mathcal{C}^1[-1,1] : g' \in \mathcal{BV}[-1,1] \} $ 이면 $ n^4/N_n \to 0 $ 이면 모든 $ x \in [-1,1] $ 에서 $ {LS}_n^{N_n}[f] $ 의 수렴이 성립한다.
• 수렴을 보장하기 위한 임계 격자 비율 $ N/n \to \infty $ 는 $ n \to \infty $ 일 때 성립하며, 이때 $ n^4/N \to 0 $ 이다.
• 오차 한계는 매개변수 $ \alpha $ 에 따라 달라지며, $ \alpha $ 가 클수록 나머지 항의 $ n $ 거듭제곱의 지수는 증가한다.
• 적절한 $ n $ 의 $ N $ 대비 성장 속도를 확보할 경우, $ N \to \infty $ 일 때 Hahn 다항식 전개는 Jacobi 전개를 오차가 감소하는 방식으로 근사한다.