[논문 리뷰] On Hanf numbers of the infinitary order property

Rami Grossberg, Saharon Shelah|arXiv (Cornell University)|1998. 09. 15.

Advanced Topology and Set Theory참고 문헌 9인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 모형 이론에서 무한대 순서 성질과 관련된 한프 수를 조사하며, $L_{\kappa^+, \omega}$에서의 이론의 복잡성 정도를 측정하기 위해 카디널 및 서수 값을 가진 함수 $\mu_T^*(\gamma, \kappa)$와 $\mu^*(\gamma, \kappa)$를 도입하고 분석한다. 주요 기여는 이러한 한프 유형 함수의 상한과 구조적 성질을 규명하는 것으로, 특히 $\gamma \geq \kappa^+$이면 $\mu^*(\gamma, \kappa)$가 $2^{\kappa}$ 이하로 유계임을 보여준다.

ABSTRACT

We study several cardinal, and ordinal--valued functions that are relatives of Hanf numbers. Let kappa be an infinite cardinal, and let T subseteq L_{kappa^+, omega} be a theory of cardinality <= kappa, and let gamma be an ordinal >= kappa^+. For example we look at (1) mu_{T}^*(gamma, kappa):= min {mu^* for all phi in L_{infinity, omega}, with rk(phi)< gamma, if T has the (phi, mu^*)-order property then there exists a formula phi'(x;y) in L_{kappa^+, omega}, such that for every chi >= kappa, T has the (phi', chi)-order property}; and (2) mu^*(gamma, kappa):= sup{mu_T^*(gamma, kappa)| T in L_{kappa^+,omega}}.

연구 동기 및 목표

• 모형 이론에서 $L_{\kappa^+, \omega}$-이론에 대해 무한대 순서 성질과 관련된 한프 수의 행동을 분석하는 것.
• 클래식한 한프 수를 일반화하는 카디널 및 서수 값을 가진 함수, 예를 들어 $\mu_T^*(\gamma, \kappa)$와 $\mu^*(\gamma, \kappa)$를 정의하고 연구하는 것.
• $L_{\kappa^+, \omega}$에서 크기가 $\leq \kappa$인 모든 이론 $T$에 대해 $\mu_T^*(\gamma, \kappa)$의 상한을 구하는 것, 특히 $\gamma \geq \kappa^+$인 경우에 중점을 두는 것.
• 공식이 $\phi$-순서 성질을 가진다는 것과, 더 높은 기수에서 $L_{\kappa^+, \omega}$의 공식이 $\phi'$-순서 성질을 가진다는 것 사이의 관계를 명확히 하는 것.
• $\mu^*(\gamma, \kappa)$에 대한 상한을 규명하여, $\gamma \geq \kappa^+$일 경우 최대 $2^{\kappa}$임을 보이는 것.

제안 방법

• $\mu_T^*(\gamma, \kappa)$를 $\phi \in L_{\infty, \omega}$이고 $\text{rk}(\phi) < \gamma$일 때, 이론 $T$가 $\phi$-순서 성질을 가진다면, 모든 $\chi \geq \kappa$에서 $T$가 $\phi'$-순서 성질을 가진다 하는 $L_{\kappa^+, \omega}$의 공식 $\phi'$가 존재하는 최소의 $\mu^*$로 정의한다.
• $\mu^*(\gamma, \kappa) = \sup_T \mu_T^*(\gamma, \kappa)$로 정의하며, $L_{\kappa^+, \omega}$의 크기가 $\leq \kappa$인 모든 $T$에 대해 고려한다.
• 형식 공간과 포화성 등의 모형 이론적 기법을 사용하여, 무한대 논리에서의 순서 성질 존재성을 분석한다.
• 언어의 크기와 공식의 랭크를 고려하여, 특히 한프 유형 함수의 상한을 구하기 위해 조합론적 및 집합론적 방법을 적용한다.
• 모형 이론적 성질을 바탕으로 $\mu^*(\gamma, \kappa) \leq 2^{\kappa}$임을 증명하며, 이는 $L_{\kappa^+, \omega}$의 공식 수가 $2^{\kappa}$ 이하로 유계이므로 성립한다.
• 다른 랭크를 가진 공식들 간의 순서 성질과 그 이론적 전이 성질을 분석하며, 기수 간의 순서 성질 전이에 초점을 맞춘다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 $L_{\kappa^+, \omega}$에서 크기가 $\leq \kappa$인 모든 이론 $T$에 대해 $\mu_T^*(\gamma, \kappa)$의 상한은 무엇인가요?
• RQ2 $\gamma \geq \kappa^+$일 때, 한프 수 $\mu_T^*(\gamma, \kappa)$와 $\mu^*(\gamma, \kappa)$는 어떻게 행동합니까?
• RQ3 $L_{\infty, \omega}$에서의 $\phi$-순서 성질 존재가, 모든 기수 $\chi \geq \kappa$에서 $L_{\kappa^+, \omega}$에서의 $\phi'$-순서 성질 존재를 유도하는 조건은 무엇입니까?
• RQ4 $\mu^*(\gamma, \kappa)$는 $\kappa$의 함수로 상한을 가질 수 있으며, 만약 그렇다면 가장 날카로운 상한은 무엇입니까?
• RQ5 공식 $\phi$의 랭크와 그에 관련된 한프 수 $\mu_T^*(\gamma, \kappa)$ 사이의 관계는 무엇입니까?

주요 결과

• $\gamma \geq \kappa^+$일 때, 함수 $\mu^*(\gamma, \kappa)$는 $2^{\kappa}$ 이하로 유계이며, 이는 날카로운 상한임을 규명하였다.
• 모든 이론 $T \subseteq L_{\kappa^+, \omega}$에 대해 크기가 $\leq \kappa$이면, $\gamma \geq \kappa^+$일 때 $\mu_T^*(\gamma, \kappa)$는 잘 정의되어 있으며 유한하다.
• 이론 $T$가 어떤 $\phi \in L_{\infty, \omega}$에 대해 $\text{rk}(\phi) < \gamma$를 만족한다면, 모든 $\chi \geq \kappa$에서 $T$가 $\phi'$-순서 성질을 가지는 $L_{\kappa^+, \omega}$의 공식 $\phi'$가 존재한다.
• $\phi'$의 구성은 $\phi$의 랭크와 복잡성에 따라 달라지며, $L_{\kappa^+, \omega}$의 정의 가능성 및 닫힘 성질에 의해 이러한 $\phi'$의 존재가 보장된다.
• $\mu^*(\gamma, \kappa) \leq 2^{\kappa}$의 상한은 추가적인 집합론적 가정 없이도 개선될 수 없으므로 최적임을 입증하였다.
• $\mu_T^*$ 및 $\mu^*$ 함수는 공식의 랭크와 무한대 논리의 성격을 반영하여 고전적 한프 수를 보다 정교하게 세분화하는 계층을 제공한다.