[논문 리뷰] On Harmonic $ u$-Bloch and $ u$-Bloch-type mappings

Gang Liu, Saminathan Ponnusamy|arXiv (Cornell University)|2017. 07. 05.

Analytic and geometric function theory인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 조화 $\nu$-Bloch 매핑의 일반화로 조화 $\nu$-Bloch-형 매핑을 도입하고, 이러한 매핑에 대한 지배 원리들을 수립한다. 또한 $\beta^{*}_{H}(\nu)$ 및 $\beta_{H}(\nu)$ 내에서 방향을 유지하는 조화 매핑에 대해 $p$-Bohr 반경을 유도하며, 이 반경이 원점에서의 변형률과 매개변수 $\nu$에 의존하며, 적분 추정과 초함수를 통해 명시적인 경계가 유도됨을 보여준다.

ABSTRACT

The aim of this paper is twofold. One is to introduce the class of harmonic $\ u$-Bloch-type mappings as a generalization of harmonic $\ u$-Bloch mappings and thereby we generalize some recent results of harmonic $1$-Bloch-type mappings investigated recently by Efraimidis et al. \\cite{EGHV}. The other is to investigate some subordination principles for harmonic Bloch mappings and then establish Bohr's theorem for these mappings and in a general setting, in some cases.

연구 동기 및 목표

• 조화 $\nu$-Bloch 매핑을 일반화하기 위해 조화 $\nu$-Bloch-형 매핑의 클래스를 도입함.
• 공간 $\beta_{H}(1)$ 및 $\beta^{*}_{H}(1)$ 내에서 조화 Bloch 매핑에 대한 지배 원리들을 조사함.
• 공간 $\beta_{H}(\nu)$ 및 $\beta^{*}_{H}(\nu)$ 내에서 방향을 유지하는 조화 매핑에 대한 $p$-Bohr 반경을 결정함.
• 방향을 유지하는 조건 하에서 $\beta^{*}_{H}(\nu)$ 내 매핑에 대한 성장 및 계수 추정을 수립함.

제안 방법

• 반경 $\beta^{*}_{\nu}(f) = \sup_{z\in\mathbb{D}} (1-|z|^2)^\nu \sqrt{|J_f(z)|} < \infty$ 를 통해 조화 $\nu$-Bloch-형 매핑을 정의함.
• 해석적 함수 $h$ 및 $g$를 갖는 표준 분해 $f = h + \overline{g}$ 를 사용하고, 자코비안 $J_f = |h'|^2 - |g'|^2$ 를 분석함.
• 지배 기법과 초함수 $F_k(r)$ 를 포함하는 적분 추정을 적용하여 계수 급수의 경계를 구함.
• 가짜노름 $||f||_{\mathcal{B}^{*}_{H}(\nu)}$ 와 변형률 $\omega_f(0)$ 을 사용하여 $|a_0| + \sum_{n=1}^\infty (|a_n|^p + |b_n|^p)^{1/p} r^n$ 의 경계를 도출함.
• transcendental 방정식을 풀어 $r$, $\nu$, $p$, $|\omega_f(0)|$ 를 포함하는 $p$-Bohr 반경을 수립함.
• 성장 제어 및 $p$-급수의 수렴 보장을 위해 $|g'| < |h'|$ (방향 유지) 조건을 사용함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떻게 조화 $\nu$-Bloch 매핑을 $\nu$-Bloch-형 조건을 통해 더 넓은 매핑 클래스로 일반화할 수 있는가?
• RQ2 공간 $\mathcal{B}_H(1)$ 및 $\mathcal{B}^{*}_H(1)$ 내에서 조화 매핑을 지배하는 원리는 무엇인가?
• RQ3 $\mathcal{B}^{*}_H(\nu)$ 내에서 방향을 유지하는 조화 매핑에 대한 $p$-Bohr 반경의 정확한 값 또는 경계는 무엇인가?
• RQ4 $p$-Bohr 반경은 변형률 $\omega_f(0)$ 과 매개변수 $\nu$ 에 어떻게 의존하는가?

주요 결과

• 방향을 유지하는 조건을 만족하고 $||f||_{\mathcal{B}^{*}_H(\nu)} \leq 1$ 인 $f \in \mathcal{B}^{*}_H(\nu)$ 에 대해 $p$-Bohr 반경은 $\nu \in (k/2, (k+1)/2]$ 일 때 $\max\{r_1(\nu,p,|\omega_f(0)|), r_2(k,p,|\omega_f(0)|)\}$ 로 경계됨.
• 반경 $r_1(\nu,p,|\omega_f(0)|)$ 는 $(0,1)$ 내에서 유일한 해를 갖는 방정식 $3(1-|\omega_f(0)|)(1-r^2)^{2\nu+1} - M_p \pi^2 (1+|\omega_f(0)|) r^2 = 0$ 의 해이며, $M_p = \max\{2^{2/p-1}, 1\}$.
• 반경 $r_2(k,p,|\omega_f(0)|)$ 는 방정식 $2M_p(1+|\omega_f(0)|)r F_{k+1}(r) - (1-|\omega_f(0)|)(1-r) = 0$ 의 유일한 해이며, $F_k(r)$ 는 논문에서 정의된 초함수임.
• $\nu=1$ 일 때, $|\omega_f(0)| = t$ 인 $f_t(z) = h_t(z) + \overline{g_t(z)}$ 의 $p$-Bohr 반경은 $t \to 1^{-}$ 일 때 0에 수렴하며, 이는 변형률에 매우 강한 의존성을 보임.
• $\mathcal{B}^{*}_H(\nu)$ 는 $\nu > 0$ 인 모든 $\nu$ 에 대해 선형이 아니지만, $\mathcal{B}_H(\nu)$ 를 진부분집합으로 포함함.
• 공간 $\mathcal{B}(\nu)$ 내에서 $f \in \mathcal{B}(\nu)$ 의 $p$-Bohr 반경은 동일한 방정식에서 $|\omega_f(0)| = 0$ 인 경우 유도된 $r_1(\nu,p)$ 로 경계됨.