[논문 리뷰] On Harrington's model in which Separation holds but Reduction fails at the 3rd projective level, and on some related models of Sami

Vladimir Kanovei, Vassily Lyubetsky|arXiv (Cornell University)|2018. 10. 30.

Advanced Topology and Set Theory참고 문헌 16인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 1975년 리오 하링턴의 결과를 완전히 증명하며, L 위에서 집합-유일성 강화를 통해 ZFC 모델을 구성하여 $Π^{1}_{3}$-분리가 성립하지만 $Σ^{1}_{3}$-환원이 실패하는 것을 보이며, 거의-불일치 코딩과 강화 기법을 사용해 대규모 기수나 결정성 없이 세 번째 프로젝티브 수준에서 환원의 실패를 고립한다. 이 결과는 프로젝티브 계층에서 분리와 환원 성질 사이에 엄격한 분리가 존재함을 보여준다.

ABSTRACT

In a handwtitten note of 1975, Leo Harrington sketched a construction of a model of ZFC (no large cardinals or anything beyond ZFC!) in which $\mathbfΠ^1_3$-Separation holds but $\mathbfΣ^1_3$-Reduction fails. The result has never appeared in a journal or book publication except for a few of old references.

연구 동기 및 목표

• 리오 하링턴의 1975년 비공개 결과에 대해 ZFC 모델에서 $Π^{1}_{3}$-분리가 성립하지만 $Σ^{1}_{3}$-환원이 실패하는 것을 완전하고 공식적으로 증명하는 것.
• 구성 가능한 유니버스 L의 일반화된 확장에서 세 번째 수준에서 프로젝티브 점클래스의 행동을 명확히 하는 것.
• 대규모 기수나 결정성을 사용하지 않고, ZFC와 강화를 통해 $Σ^{1}_{3}$-환원이 실패하지만 $Π^{1}_{3}$-분리가 성립하는 모델을 구성하는 열린 문제를 해결하는 것.
• 세 번째 수준 이상에서 $Π^{1}_{n}$ 및 $Σ^{1}_{n}$에 대해 분리와 환원이 실패하거나 성립하는 다양한 조합을 다룬 사미의 관련 결과를 확장하고 형식화하는 것.

제안 방법

• 실수를 일반화된 실수에 코딩하기 위해 거의-불일치 코딩 강화 개념 $Χ$를 사용하여 구성 가능한 유니버스 L 위에서 집합-유일성 강화를 수행하는 것.
• 하링턴의 부울-가치 논리 접근 방식을 비틀어지지 않는 정규 개방 대수의 문제를 피하기 위해 표준 순서 집합 강화로 대체하는 것.
• 강화 확장에서 진리의 특성을 $β$-모델을 통해 기술하기 위해 $Σ^{1}_{3}$ 및 $Π^{1}_{3}$ 공식의 강화-절대 번역 $φ^*$를 정의하는 것.
• 동질성 및 절대성 보조정리를 확립하여 $β$-모델이 $φ^*$를 만족하는 것과 원래 공식이 일반화된 확장에서 참이 되는 것이 동치임을 보장하는 것.
• $Σ^{1}_{3}$-집합 $A_0, A_1$를 구성하고, 잘서열 $\leq^\text{g}_{xz}$ 하에서 최소의 증거자에 의해 부분집합 $B_0, B_1$를 정의하여 환원 가능성을 시험하는 것.
• 만약 $Σ^{1}_{3}$-환원이 성립했다면, $A_0, A_1$의 $Σ^{1}_{3}$-환원이 일반화된 코딩 구성과 모순이 되는 $Σ^{1}_{3}$-집합을 유도함을 증명하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 대규모 기수나 결정성을 가정하지 않고, $Π^{1}_{3}$-분리가 성립하지만 $Σ^{1}_{3}$-환원이 실패하는 ZFC 모델을 구성할 수 있는가?
• RQ2 거의-불일치 코딩을 통한 L의 일반화된 확장에서 $Σ^{1}_{3}$-환원과 $Π^{1}_{3}$-분리의 정확한 행동은 무엇인가?
• RQ3 프로젝티브 공식의 강화-절대 번역 $φ^*$는 일반화된 확장과 $β$-모델에서의 진리와 어떻게 상호작용하는가?
• RQ4 왜 표준 부울-가치 논리 접근 방식이 이 맥락에서 실패하는가? 그리고 순서 집합 강화로 대체함으로써 이 문제는 어떻게 해결되는가?
• RQ5 단일 모델에서 $Σ^{1}_{3}$-환원의 실패가 $Π^{1}_{3}$-분리의 실패와 일관되게 분리될 수 있는가?

주요 결과

• 강화된 L의 집합-유일성 확장이 존재하며, 이 모델에서 $Π^{1}_{3}$-분리가 성립하지만 $Σ^{1}_{3}$-환원이 실패한다. 이는 하링턴의 1975년 스케치를 확인한다.
• $Σ^{1}_{3}$-환원의 실패는 두 개의 $Σ^{1}_{3}$-집합 $A_0, A_1$가 서로 분리된 $Σ^{1}_{3}$-부분집합 $B_0, B_1$로 환원될 수 없음을 통해 달성된다.
• 증명 과정에서 $β$-모델이 $φ^*(x)$를 만족하는 것과 원래 공식이 일반화된 확장에서 참이 되는 것이 동치임을 보장하여 강화 절대성의 성립을 확립한다.
• 부울-가치 논리 대신 순서 집합 강화를 사용함으로써 정규 개방 대수의 비절대성 문제를 피할 수 있었으며, 이는 이전 접근 방식의 기술적 문제를 해결한다.
• 모델는 대규모 기수나 결정성에 대한 언급 없이, 오직 ZFC와 거의-불일치 코딩을 사용하여 구성된다.
• 결과적으로 $Σ^{1}_{3}$-환원이 $Π^{1}_{3}$-분리로부터 유도되지 않음을 보여주며, 이는 ZFC 내에서도 세 번째 프로젝티브 수준에서 성립한다.