[논문 리뷰] On higher spin partition functions

M. Beccaria, A.A. Tseytlin|arXiv (Cornell University)|2015. 03. 27.

Black Holes and Theoretical Physics참고 문헌 41인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 평탄한 공간, $\mathrm{AdS}_d$, 그리고 등각적으로 평탄한 $S^4$ 배경에서 자유 스칼라 질량이 없는 고차 스핀 장들—모든 스핀 $ s = 0,1,2,\dots $—에 대한 1-loop 분할함수는 물리적 장과 고스트의 행렬식 상호 간 완전한 상쇄로 인해 정확히 1임을 보여준다. 이 $Z=1$ 결과는 큰 기본 게이지 대칭성에서 기인하며, 등각 고차 스핀 이론과 등각 대칭 텐서 이론으로까지 확장되며, 이는 UV 유한성과 위상적 또는 초대칭적 구조와의 깊은 연결성을 시사한다.

ABSTRACT

We observe that the partition function of the set of all free massless higher spins s=0,1,2,3,... in flat space is equal to one: the ghost determinants cancel against the "physical" ones or, equivalently, the (regularized) total number of degrees of freedom vanishes. This reflects large underlying gauge symmetry and suggests analogy with supersymmetric or topological theory. The Z=1 property extends also to the AdS background, i.e. the 1-loop vacuum partition function of Vasiliev theory is equal to 1 (assuming a particular regularization of the sum over spins); this was noticed earlier as a consistency requirement for the vectorial AdS/CFT duality. We find that Z=1 is also true in the conformal higher spin theory (with higher-derivative d^{2s} kinetic terms) expanded near flat or conformally flat S^4 background. We also consider the partition function of free conformal theory of symmetric traceless rank s tensor field which has 2-derivative kinetic term but only scalar gauge invariance in flat 4d space. This non-unitary theory has a Weyl-invariant action in curved background and corresponds to "partially massless" field in AdS_5. We discuss in detail the special case of s=2 (or "conformal graviton"), compute the corresponding conformal anomaly coefficients and compare them with previously found expressions for generic representations of conformal group in 4 dimensions.

연구 동기 및 목표

• 평탄하고 곡률이 있는 배경에서 무한한 수의 자유 고차 스핀 장의 양자 분할함수를 조사하는 것.
• 모든 스핀에 걸쳐 도메인의 자유도가 상쇄되는 게이지 대칭의 역할을 이해하는 것.
• 등각 고차 스핀 및 등각 대칭 텐서 장 이론을 포함한 다양한 고차 스핀 이론에서 $Z=1$ 성질을 확립하는 것.
• 이 $Z=1$ 결과가 알려진 이상 계수와 정규화 방법과 일관한지 검증하는 것.
• 평탄한 공간에서의 $Z=1$과 그가 $\mathrm{AdS}_5$의 벡터 이중성 AdS/CFT 이중성과 $S^4$ 상의 등각 장 이론에 미치는 함의를 탐색하는 것.

제안 방법

• 대칭 비틀림 없는 텐서에 대한 운동학적 연산자의 함수적 행렬식을 사용하여 분할함수를 계산하였으며, 제타 함수 또는 차원 정규화를 통해 정규화하였다.
• 질량이 없는 고차 스핀(MHS) 장의 경우, 분할함수는 수직 장에 대한 라플라스 연산자의 행렬식 비율로 표현되며, $ Z_{\text{MHS},s} = \left[ \frac{\det \Delta_{s-1\perp}}{\det \Delta_{s\perp}} \right]^{1/2} $ 로 주어지며, 이는 텔레스코프 상쇄를 유도한다.
• 등각 고차 스핀(CHS) 이론에서는 고차 도함수 $\partial^{2s}$ 운동학적 항을 사용하며, 총 $Z_{\text{CHS}}$ 는 $s$ 에 대한 등각 이상 계수의 합을 정규화하여 1임을 보였다.
• 등각 대칭 텐서(CST) 장의 경우, 2차 도함수의 와이어-불변 작용을 사용하였으며, 곡률이 있는 공간에서 스칼라 게이지 불변성을 갖는다. 분할함수를 $S^4$ 와 $S^1 \times S^3$ 에서의 모드 분해를 통해 계산하였다.
• 1-입자 분할함수 $\mathcal{Z}(q)$ 는 조화 진동자 모드를 사용하여 계산되었으며, $q = e^{-\beta}$ 이다. 모든 스핀에 걸쳐 합산하여 $Z_{\text{CST}} = \sum_s \mathcal{Z}_s(q)$ 를 도출하였다.
• 이 $Z=1$ 결과는 $S^4$ 상의 총 분할함수를 $\mathrm{AdS}_5$ 에서의 바실리에프 이론의 $Z=1$ 성질과 비교하여 검증되었으며, 관계식 $[Z_{\text{MHS}}(\mathrm{AdS}_5)]_{\text{tot}} = [Z_{\text{CHS}}(S^4)]_{\text{tot}} = 1$ 을 통해 확인되었다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 평탄한 공간에서 모든 자유 스칼라 질량이 없는 고차 스핀 장의 총 1-루프 분할함수가 게이지 대칭 상쇄로 인해 0이 되는가?
• RQ2 이 $Z=1$ 성질은 평탄한 공간에서 $\mathrm{AdS}_d$ 와 등각적으로 평탄한 $S^4$ 배경으로 어떻게 확장되는가?
• RQ3 등각 고차 스핀 이론에서 총 자유도 수가 0이 되도록 보장하기 위해 정규화의 역할은 무엇인가?
• RQ4 이 $Z=1$ 결과는 스칼라 게이지 불변성을 갖는 비유니타리 등각 대칭 텐서 장으로까지 확장될 수 있는가?
• RQ5 4차원에서 일반적인 등각 군 표현과 비교할 때, CST 장의 등각 이상 계수 $a_s$ 와 $c_s$ 는 어떻게 다른가?

주요 결과

• 평탄한 공간에서 모든 자유 스칼라 질량이 없는 고차 스핀 장에 대한 1-루프 분할함수는 물리적 장과 고스트의 행렬식 상호 간 상쇄로 인해 정확히 $Z=1$ 이다.
• 이 $Z=1$ 성질은 특정 정규화 하에서 바실리에프 이론이 $\mathrm{AdS}_d$ 에서도 성립하며, 벡터 이중성 AdS/CFT 이중성과 일관된다.
• 등각 고차 스핀 이론에서 $S^4$ 상의 총 분할함수 역시 $Z=1$ 이며, 차원 정규화를 통해 확인되었고, 다른 경계 조건을 가진 MHS 분할함수와 일치함을 확인하였다.
• 4차원 평탄한 공간에서 등각 대칭 텐서 장의 총 분할함수 역시 $Z=1$ 이다. 비유니타리 성질이 있음에도 불구하고, CHS 장과 동일한 자유도 수를 갖기 때문이다.
• CST 장의 등각 이상 계수 $a_s$ 와 $c_s$ 는 일반적인 $SO(2,4)$ 표현 $(3; s/2, s/2)$ 와 일치하며, 이는 등각 장 이론의 기대와 일관됨을 확인한다.
• rank-2 CST 장의 $S^4$ 상의 분할함수는 $\mathcal{Z}_{\text{CST},2}(q) = \frac{2q^2(8 - q - q^2)}{(1-q)^3}$ 이며, 정규화 후 총 $Z_{\text{CST}}$ 는 1이 된다.