[논문 리뷰] On Hilbert's Tenth Problem

Michael Pfender|arXiv (Cornell University)|2014. 07. 07.

Logic, programming, and type systems참고 문헌 5인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 페아노 산술을 확장하는 이론 T에서 내부 증명의 비존재성과 대조적으로 영근해(해가 존재하지 않는 해)를 찾는 레이스를 통해 힐베르트의 제10 문제를 해결하고자 하는 부분 μ-재귀 결정 알고리즘, decis를 제시한다. T가 다이오판 소음성일 경우, decis는 다이오판 부등식을 정확히 결정함을 보여준다; 그러나 마티야세비치의 결정 불가능성 결과에 따르면 T가 동시에 다이오판 소음성과 완전성일 수 없으며, 이는 T가 비일관일 경우를 제외하고는 모순을 야기한다.

ABSTRACT

Using an iterated Horner schema for evaluation of diophantine polynomials, we define a partial $μ$-recursive "decision" algorithm decis as a "race" for a first nullstelle versus a first (internal) proof of non-nullity for such a polynomial -- within a given theory T extending Peano Arithmetique PA. If T is diophantine sound, i.e., if (internal) provability implies truth -- for diophantine formulae --, then the T-map decis gives correct results when applied to the codes of polynomial inequalities $D(x_1,...,x_m) eq 0$. The additional hypothesis that T be diophantine complete (in the syntactical sense) would guarantee in addition termination of decis on these formula, i.e., decis would constitute a decision algorithm for diophantine formulae in the sense of Hilbert's 10th problem. From Matiyasevich's impossibility for such a decision it follows, that a consistent theory T extending PA cannot be both diophantine sound and diophantine complete. We infer from this the existence of a diophantine formulae which is undecidable by T. Diophantine correctness is inherited by the diophantine completion T~ of T, and within this extension decis terminates on all externally given diophantine polynomials, correctly. Matiyasevich's theorem -- for the strengthening T~ of T -- then shows that T~, and hence T, cannot be diophantine sound. But since the internal consistency formula Con_T for T implies -- within PA -- diophantine soundness of T, we get that PA derives eg Con_T, in particular PA must derive its own internal inconsistency formula.

연구 동기 및 목표

• 내부 증명과 이론 T 내부의 반례 탐색을 통해 힐베르트의 제10 문제에 대한 결정 알고리즘의 실현 가능성을 조사한다.
• 페아노 산술을 확장하는 이론 T가 다이오판 소음성(증명은 참을 뜻함)과 다이오판 완전성(모든 참인 다이오판 문장에 대해 증명이 존재함)을 동시에 만족할 수 있는 조건을 검토한다.
• 다이오판 소음성과 다이오판 완전성이 동시에 성립한다고 가정할 경우, 마티야세비치의 결정 불가능성 결과에 의해 T는 모순을 일으키며, 이는 T가 비일관일 수밖에 없음을 보여준다.
• 내부 의미 완전성의 역할을 분석한다: T̃ = T + ¬Con_T를 통해 T가 다이오판 소음성일 경우 비일관성이 드러나게 된다.
• T̃ 내부의 내부 의미 완전성이 decis가 전부이자 정확하다는 것을 보여주며, 마티야세비치 정리와의 모순을 야기한다.

제안 방법

• Gödel 수와 입력이 주어진 원시 재귀 술어의 값을 계산하는 μ-재귀 평가 함수 ev: ℕ × |ℕ,2|_PR → 2를 정의한다.
• 결정 함수 decis(p)를 두 인덱스 간의 레이스로 구성한다: μ_ex(p)는 ev(p,n) = 0이 되는 최소의 n(반례), μ_thm(p)는 내부 정리 증명기 thm_T̃(k) = p를 만족하는 최소의 k(증명).
• 반례가 먼저 발견되면 decis(p) = 0, 증명이 먼저 발견되면 decis(p) = 1, 그 외에는 ∞로 정의한다.
• T를 T̃ = T + ¬Con_T로 확장하며, 고델의 제2부정리에 의해 T에 대해 일관성은 유지된다.
• T̃ 내부의 내부 의미 완전성 증명: 만약 모든 n에 대해 ev(p,n) = 1이면, p는 T̃에서 증명 가능하며, 이는 decis가 T̃ 내에서 전부임을 보장한다.
• 마티야세비치의 결과에 따르면 다이오판 방정식에 대한 일반적인 결정 절차가 존재하지 않으며, T가 다이오판 소음성과 완전성일 경우 이는 모순을 야기하므로 T는 비일관이어야 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 내부 이론 T 내에서 다이오판 부등식을 정확히 결정할 수 있는 μ-재귀 결정 알고리즘을 구성할 수 있는가?
• RQ2 이러한 결정 알고리즘이 정지하고 정확한 결과를 도출할 수 있는 논리적 조건은 무엇인가?
• RQ3 PA의 일관성 있고 재귀적으로 공리화된 확장 T가 동시에 다이오판 소음성과 다이오판 완전성을 가질 수 있는가?
• RQ4 T에 ¬Con_T를 추가하면 결정 함수 decis의 행동과 전부성에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 내부 의미 완전성의 T̃과 마티야세비치의 결정 불가능성 결과를 결합했을 때 발생하는 모순은 무엇인가?

주요 결과

• T가 다이오판 소음성일 경우, T̃ = T + ¬Con_T 내에서 내부 의미 완전성 덕분에 결정 함수 decis는 전부이자 정확하다.
• T가 다이오판 소음성과 다이오판 완전성 모두를 만족한다면, decis는 다이오판 방정식에 대해 정확하고 정지하는 결정 절차가 된다.
• 마티야세비치의 정리에 따르면 그러한 일반적인 결정 절차는 존재하지 않으며, 이는 T가 동시에 다이오판 소음성과 다이오판 완전성일 수 없다는 것을 의미한다.
• 따라서, PA의 일관성 있는 확장 T가 다이오판 소음성을 만족한다면, 반드시 다이오판 완전성을 만족하지 못하며, 그 반대도 마찬가지다.
• T의 다이오판 완전화 T̃은 다이오판 정확성을 유지하며, T̃ 내에서 decis는 모든 다이오판 다항식에 대해 정지하고 정확하게 동작한다.
• 마티야세비치의 결과는 T̃ 내에서 성립하며, decis가 T̃ 내에서 전부이자 정확하므로 T̃(따라서 T)는 다이오판 소음성이 될 수 없으며, 이는 PA가 자신의 내부 비일관성을 증명한다는 결론을 이끈다.