[논문 리뷰] On holonomy singularities in general relativity and the $C^{0,1}_{\mathrm{loc}}$-inextendibility of spacetimes

Jan Sbierski|arXiv (Cornell University)|2020. 07. 23.

Cosmology and Gravitation Theories참고 문헌 32인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 국소적 폴로이드리안 호로니( holonomy )의 비유계성 분석을 통해, 약한 영점 특이성을 가진 우주론적 및 구형 대칭 시공간의 $C^{0,1}_{\mathrm{loc}}$-확장 불가능성을 입증한다. 이는 중력 에너지의 발산을 나타내며, $C^0$ 확장이 존재하더라도 국소적 리프시츠 조건을 만족하는 메트릭으로는 이러한 시공간을 확장할 수 없음을 보여준다. 이는 이전의 $C^2$ 결과를 넘어서 $C^{0,1}_{\mathrm{loc}}$ 형식의 강력한 우주 캐니컬리즘( strong cosmic censorship )을 강화한다.

ABSTRACT

This paper investigates the structure of gravitational singularities at the level of the connection. We show in particular that for FLRW spacetimes with particle horizons a local holonomy, which is related to a gravitational energy, becomes unbounded near the big-bang singularity. This implies the $C^{0,1}_{\mathrm{loc}}$-inextendibility of such FLRW spacetimes. Again using an unbounded local holonomy we also give a general theorem establishing the $C^{0,1}_{\mathrm{loc}}$-inextendibility of spherically symmetric weak null singularities which arise at the Cauchy horizon in the interior of black holes. Our theorem does not presuppose the mass-inflation scenario and in particular applies to the Reissner-Nordström-Vaidya spacetimes as well as to spacetimes which arise from small and generic spherically symmetric perturbations of two-ended subextremal Reissner-Nordström initial data for the Einstein-Maxwell-scalar field system. In [26], [27] Luk and Oh proved the $C^2$-formulation of strong cosmic censorship for this latter class of spacetimes -- and based on their work we improve this to a $C^{0,1}_{\mathrm{loc}}$-formulation of strong cosmic censorship.

연구 동기 및 목표

• 홀로니를 기하학적 불변량으로 사용하여 중력 특이성을 가진 시공간의 $C^{0,1}_{\mathrm{loc}}$-확장 불가능성을 입증하는 것.
• 일반 상대성 이론에서 우주론적 및 약한 영점 특이성 근처의 국소적 호로니 행동을 분석하는 것.
• 질량 증식을 가정하지 않고도 적용 가능한, $C^{0,1}_{\mathrm{loc}}$-확장 불가능성에 대한 일반 기준을 제공하는 것.
• Reissner-Nordström 시공간의 변형에 대해 강력한 우주 캐니컬리즘의 $C^2$ 형식을 $C^{0,1}_{\mathrm{loc}}$로 개선하는 것.

제안 방법

• 중력 에너지의 척도로 국소적 호로니를 사용하여 특이성 근처에서 그 값이 비유계가 됨을 보여준다.
• 국소적 리프시츠 조건을 만족하는 확장에서 국소적 호로니를 유계로 제한하는 보조정리를 적용하여 확장 불가능성을 도출한다.
• 입자 사건의 영역이 존재하는 와핑 곱 FLRW 시공간을 분석하고 척도 인자 $a(t)$에 대한 조건을 검증한다.
• 특이성에서 $\partial_v r \to -\infty$ 및 $\partial_u r \to -\infty$를 만족하는 구형 대칭 시공간을 $(u,v)$-좌표계에서 고려한다.
• 곡률 행동을 제어하고 확장 불가능성 조건을 검증하기 위해 Hawking 질량과 $\kappa$-함수를 활용한다.
• Luk과 Oh의 $C^2$-강력한 우주 캐니컬리즘 결과를 활용하여 결과를 $C^{0,1}_{\mathrm{loc}}$로 업그레이드한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 입자 사건의 영역이 존재하는 FLRW 시공간에 대해 호로니를 사용하여 $C^{0,1}_{\mathrm{loc}}$-확장 불가능성을 입증할 수 있는가?
• RQ2 구형 대칭 시공간에서 약한 영점 특이성을 가진 경우, 비유계적 국소적 호로니는 $C^{0,1}_{\mathrm{loc}}$-확장 불가능성을 의미하는가?
• RQ3 변형된 Reissner-Nordström 시공간에 대해 $C^2$-강력한 우주 캐니컬리즘 형식을 $C^{0,1}_{\mathrm{loc}}$로 개선할 수 있는가?
• RQ4 $C^{0,1}_{\mathrm{loc}}$-확장 불가능성 결과는 하부극도 Reissner-Nordström 초기 데이터의 작은 일반적인 구형 대칭 편향에 대해 안정적인가?

주요 결과

• 입자 사건의 영역이 존재하는 FLRW 시공간은 조건 $\lim_{t\to 0}a(t)=0$, $\int_0^1 \frac{1}{a(t)}dt < \infty$, 및 $\int_1^\infty \frac{a(t)}{\sqrt{a(t)^2+1}}dt = \infty$ 에 기인한 비유계적 국소적 호로니로 인해 $C^{0,1}_{\mathrm{loc}}$-확장 불가능하다.
• 구형 대칭 약한 영점 특이성은 $\partial_v r \to -\infty$, $\partial_u r \to -\infty$, 및 각 변수에 대한 $r$의 단조성 조건을 만족할 경우 $C^{0,1}_{\mathrm{loc}}$-확장 불가능하다.
• Reissner-Nordström-Vaidya 시공간 및 두 끝이 있는 하부극도 Reissner-Nordström 초기 데이터의 변형에 대해 질량 증식을 가정하지 않고도 $C^{0,1}_{\mathrm{loc}}$-확장 불가능성 결과가 성립한다.
• Luk과 Oh의 $C^2$-강력한 우주 캐니컬리즘 결과는 동일한 시공간 클래스에 대해 $C^{0,1}_{\mathrm{loc}}$ 형식으로 업그레이드된다.
• FLRW 시공간에서 빅뱅 특이성 근처에서 국소적 호로니가 발산하며, 이는 비유계 중력 에너지를 나타낸다.
• 구형 대칭 블랙홀의 외부에서는 $\kappa$가 아래와 위로 유계이며, $\partial_v r > 0$, $\partial_u r < 0$, $\partial_u \kappa \leq 0$ 를 만족하여 확장 불가능성 조건이 충족됨을 보장한다.