[논문 리뷰] On Hopf algebras over the unique $12$-dimensional Hopf algebra without the dual Chevalley property

Rongchuan Xiong|arXiv (Cornell University)|2017. 12. 03.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 19인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 이중 셰바레프 성질을 갖지 않는 12차원 호프 대수 $χ$ 위에서 유한차원 호프 대수를 일반화된 리프팅 방법을 사용하여 분류한다. 엄격하게 그레이드된 다이어그램과 유데크로메이터드 인фин티지멀 브레이딩을 갖는 호프 대수의 분류를 위해, 차원 18과 36인 새로운 니컬스 대수와 차원 216인 두 가닥의 새로운 호프 대수를 식별한다. 이는 $χ$ 위의 ȳ터-드린펠트 카테고리에서의 엄격하게 그레이드된 다이어그램과 분해 불가능한 인피니티지멀 브레이딩을 분석함으로써 이루어진다. 분류의 핵심은 $χ^{cop}$의 드린펠트 듀얼의 프로젝티브 클래스 링을 계산하고, 스케우-미분을 통한 명시적 관계 표현을 사용하는 데 있다.

ABSTRACT

Let $\mathds{k}$ be an algebraically closed field of characteristic zero. We determine all finite-dimensional Hopf algebras over $\mathds{k}$ whose Hopf coradical is isomorphic to the unique $12$-dimensional Hopf algebra $\mathcal{C}$ without the dual Chevalley property, such that the diagrams are strictly graded and the corresponding infinitesimal braidings are indecomposable objects in ${}_{\mathcal{C}}^{\mathcal{C}}\mathcal{YD}$. In particular, we obtain new Nichols algebras of dimension $18$ and $36$ and two families of new Hopf algebras of dimension $216$.

연구 동기 및 목표

• 이중 셰바레프 성질이 없는 유일한 12차원 호프 대수 $χ$ 위에서 유한차원 호프 대수를 분류하는 것.
• 관련 그레이드 구조가 엄격하게 그레이드이고, ${}_{χ}^{χ}\mathcal{YD}$에서의 인피니티지멀 브레이딩이 분해 불가능한 모든 호프 대수를 결정하는 것.
• 일반화된 리프팅 방법을 통해 유한차원 니컬스 대수와 호프 대수의 새로운 예를 구성하는 것.
• 드린펠트 듀얼 $χ^{cop}$의 프로젝티브 클래스 링을 계산하고, 이를 표현과 브레이딩의 분류에 사용하는 것.

제안 방법

• 일반화된 리프팅 방법을 사용하여 코레디컬 필터링을 표준 필터링 ${ A_{[n]} \u007d_{n\geq 0}$으로 대체함으로써, ${}_{\mathcal{C}}^{\mathcal{C}}\mathcal{YD}$ 내에서 연결된 그레이드 브레이드 홀드 호프 대수 $R$를 갖는 $\operatorname{gr}A \cong R \sharp \mathcal{C}$ 형태의 그레이드 호프 대수 구조를 도출한다.
• ${}_{\mathcal{C}}^{\mathcal{C}}\mathcal{YD}$ 내에서 분해 불가능한 모든 대상 $V$를 식별하고, $\mathcal{B}(V)$가 유한차원이 되는 경우를 확인한다.
• $\mathcal{D}$의 드린펠트 듀얼 $\mathcal{C}^{cop}$에 대해 프로젝티브 클래스 링 $r_p(\mathcal{D}) \cong \mathbb{Z}[y_0,\dots,y_5]/J$를 계산한다. 여기서 $J$는 단순 및 프로젝티브 $\mathcal{D}$-모듈의 텐서곱 분해를 기록하는 관계를 포함한다.
• 스케우-미분과 브레이드 커플러를 사용하여 유한차원 니컬스 대수 $\mathcal{B}(V)$의 명시적 생성자와 관계를 제시한다.
• 그레이드 호프 대수 $\operatorname{gr}A \cong \mathcal{B}(V) \sharp \mathcal{C}$를 갖는 호프 대수 $A$가 $\mathcal{B}(V) \sharp \mathcal{C}$ 또는 $V \cong V_{1,j+3}$일 때의 일파rametric 변형 $\mathfrak{B}_{i,j}(\mu)$와 동형임을 증명한다.
• 차원 수세기와 코homological 추론을 사용하여, $A_{[2]}$의 관계와 코곱 계산에 기반해 $A \cong \mathfrak{B}_{i,j}(\mu)$ for some $\mu \in \mathbb{k}$임을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 이중 셰바레프 성질이 없는 12차원 호프 대수 $\mathcal{C}$ 위에서 엄격하게 그레이드된 다이어그램과 ${}_{\mathcal{C}}^{\mathcal{C}}\mathcal{YD}$ 내에서 분해 불가능한 인피니티지멀 브레이딩을 갖는 유한차원 호프 대수는 무엇인가?
• RQ2 분해 불가능한 $V \in {}_{\mathcal{C}}^{\mathcal{C}}\mathcal{YD}$에 대해, 유한차원 니컬스 대수 $\mathcal{B}(V)$의 완전한 생성자 및 관계 집합은 무엇인가?
• RQ3 그레이드가 $\operatorname{gr}A \cong \mathcal{B}(V) \sharp \mathcal{C}$를 만족하는 호프 대수 $A$는 무엇이며, 이들은 동형에 대해 어떻게 분류되는가?
• RQ4 드린펠트 듀얼 $\mathcal{D} = D(\mathcal{C}^{cop})$의 프로젝티브 클래스 링과 텐서곱 분해는 $\mathcal{B}(V)$ 및 관련 호프 대수의 분류에 어떻게 제약을 가하는가?
• RQ5 일반화된 리프팅 방법을 통해 $\mathfrak{B}_{1,j+3}(\mu)$로 구성된 차원 216인 새로운 호프 대수들이 서로 다른 $\mu$에 대해 짝별로 동형이 아닌가?

주요 결과

• 논문은 차원 216인 두 가닥의 새로운 유한차원 호프 대수를 구성한다. 이들은 $\mathfrak{B}_{1,j+3}(\mu)$ ($j \in \{1,5\}$, $\mu \in \mathbb{k}$)와 동형이며, $\dim \mathfrak{B}_{1,j+3}(\mu) = 216$이다.
• 차원 18과 36인 새로운 유한차원 니컬스 대수들이 생성자와 관계를 통해 명시적으로 제시되며, $\mathcal{B}(V_{4,j})$ 및 $\mathcal{B}(V_{1,j+3})$ ($j \in \{1,5\}$)를 포함한다.
• 니컬스 대수 $\mathcal{B}(V)$는 $V$가 단순하고 $\mathds{k}_{\chi^k}$ ($k \in \{1,3,5\}$)와 동형이거나, $\Lambda \setminus \Lambda^*$에 속하는 특정한 $V_{i,j}$일 때에만 유한차원이 된다. 여기서 $\Lambda = \{(i,j) \in \mathbb{I}_{0,5} \times \mathbb{I}_{0,5} \mid 3i \neq j\}$이다.
• 호프 대수 $\mathcal{C}^{cop}$의 드린펠트 듀얼 $\mathcal{D}$의 프로젝티브 클래스 링은 $r_p(\mathcal{D}) \cong \mathbb{Z}[y_0,\dots,y_5]/J$로 계산되며, $J$는 $y_0^6 = 1$, $y_i y_3^2 = 2y_i y_0 + y_i y_0^2 + y_i$, $y_j y_{6-j} = y_3^2$, 및 $k+l \in \mathbb{I}_{0,5}$이면 $y_k y_l = y_{k+l} + y_{k+l} y_0$를 포함하는 관계로 생성된다.
• $\mathcal{B}(\mathds{k}_{\chi^k}) \sharp \mathcal{C}$ ($k \in \{1,3,5\}$)는 서로 동형이 아니며, 다른 가닥의 $\mathcal{B}(V_{i,j})$에서 유래한 것들도 서로 동형이 아니며, 이는 서로 다른 브레이딩 때문이다.
• $V \cong V_{1,j+3}$일 때, $\operatorname{gr}A \cong \mathcal{B}(V) \sharp \mathcal{C}$인 호프 대수 $A$는 어떤 $\mu \in \mathbb{k}$에 대해 $\mathfrak{B}_{1,j+3}(\mu)$와 동형이며, 이 동형 타입은 $\mu$에 따라 달라지며, $\dim A = 216$이다.