[논문 리뷰] On Horowitz and Shelah's Borel maximal eventually different family

David Schrittesser|arXiv (Cornell University)|2017. 03. 06.

Advanced Topology and Set Theory참고 문헌 5인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 ZF 집합론에서 $Π^{0}_{1}$ (효율적으로 닫힌) 최대의 점차적으로 다른 가족이 존재함을 구성적이고 초등적인 증명으로 제시한다. 이는 이전에 호로위츠와 셀라가 제시한 $Δ^{1}_{1}$ (효율적으로 보렐) 가족보다 향상된 결과이다. 방법은 이전의 구성 방식을 단순화하고, 최대성을 유지하면서 정의 복잡도를 $Π^{0}_{1}$로 낮추기 위해 존재 기술자를 반복적으로 제거하는 '멀티플리케이션' 변환을 사용한다.

ABSTRACT

We show there is a closed (in fact effectively closed, i.e., $Π^0_1$) eventually different family (working in ZF or less).

연구 동기 및 목표

• 이전에 알려진 것보다 낮은 정의 복잡도를 갖는 최대 점차적으로 다른 가족(medf)의 존재에 대한 더 단순하고 초등적인 증명을 제공하는 것.
• 호로위츠와 셀라의 $Δ^{1}_{1}$ medf를 개선하여, 더 강력한 위상적 및 논리적 복잡도 결과를 얻기 위해 $Π^{0}_{1}$ (효율적으로 닫힌) medf를 구성하는 것.
• 최대 점차적으로 다른 가족의 복잡도를 $Σ^{0}_{3} \vee Π^{0}_{3}$ 에서 $Π^{0}_{1}$로 낮출 수 있는 변환을 통해 이를 증명하는 것.
• 호로위츠와 셀라가 이전에 발표했지만 증명하지 못한 주장에 대한 문헌의 갭을 메우기 위해 완전한 증명을 제공하는 것.

제안 방법

• 계산 가능한 전단사 $n \mapsto s_n$ 와 함수 $f$ 의 초기 부분이 나타나는 인덱스 집합 $\operatorname{B}(f)$ 를 사용하여 함수를 인코딩하는 레시피를 기반으로 가족 $\mathcal{E}$ 를 정의한다.
• 혼란 조건을 통해 가로질러지지 않게 하고 거의 점차적으로 다른 성질을 확보하여, $\mathcal{E}$ 를 $\Sigma^{0}_{3} \vee \Pi^{0}_{3}$-정의 가능한 최대 점차적으로 다른 가족으로 구성한다.
• ‘멀티플리케이션’ 변환을 적용한다: 가족의 각 함수 $f$ 에 대해, $f$ 와 관련된 선택 함수 $g_f$ 를 새로운 함수의 짝수 및 홀수 위치에 인코딩하는 새로운 함수 $f^*$ 를 정의한다.
• 기존 가정이 $\Pi^{0}_{\xi+2}$-정의 가능할 경우, 멤버십 조건을 $\Pi^{0}_{\xi}$-공식으로 표현하고 인코딩 조건을 기술자 없는 조건으로 만들면, 변환된 가족 $\mathcal{E}^*$ 는 $\Pi^{0}_{\xi+1}$-정의 가능해진다.
• 유한 수열과 그 접두어의 재귀적 인코딩을 사용하여 $h \in \mathcal{E}^*$ 에 대한 조건을 $h(2n)$ 과 $h(2n+1)$ 으로 표현함으로써, 최종 가정이 $\Pi^{0}_{1}$ 가 되도록 보장한다.
• 함수 $f$ 가 $g = \ddot{e}(f, \operatorname{B}(f))$ 에 대해 재귀적임을 이용하여, $\mathcal{E}$ 의 정의에 포함된 존재 기술자를 재귀적 관계로 대체함으로써 복잡도 감소를 가능하게 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 최대 점차적으로 다른 가정은 $Π^{0}_{1}$-정의 가능하게 구성될 수 있는가, 아니면 오직 $Δ^{1}_{1}$-정의 가능하게만 가능한가?
• RQ2 최대성의 손실 없이, 최대 점차적으로 다른 가정의 정의에서 존재 기술자를 제거할 수 있는가?
• RQ3 원래의 호로위츠-셸라 증명의 기술적 복잡성들을 피하면서도 $Π^{0}_{1}$ medf를 더 단순하고 초등적인 방법으로 구성할 수 있는가?
• RQ4 최대성과 점차적으로 다른 성질을 유지하는 변환을 통해 최대 점차적으로 다른 가정의 복잡도를 체계적으로 낮출 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 $Π^{0}_{1}$-정의 가능한 최대 점차적으로 다른 가정을 구성하였으며, 이는 호로위츠와 셀라의 $Δ^{1}_{1}$ 구성보다 더 강력한 결과이다.
• 3절에서 정의된 가정 $\mathcal{E}$ 는 $\Sigma^{0}_{3} \vee \Pi^{0}_{3}$-정의 가능하며, 이는 이전 접근 방식보다 더 단순한 초도 구성이다.
• 원래 가정이 $\Pi^{0}_{\xi+2}$ 였다면 변환된 가정 $\mathcal{E}^*$ 는 $\Pi^{0}_{\xi+1}$-정의 가능하다는 것이 입증되었으며, 이는 복잡도의 반복적 감소를 가능하게 한다.
• $\mathcal{E}$ 에서 $\mathcal{E}^*$ 로의 변환은 최대성과 점차적으로 다른 성질을 유지한다. 이는 모든 함수가 $\mathcal{E}^*$ 의 어떤 원소와도 유한 번 이상의 짝수 인덱스에서 일치하기 때문이다.
• 최종 결과인 추론 4.2는 $\Pi^{0}_{1}$ medf 가 존재함을 확인하며, 호로위츠와 셀라가 이전에 발표했지만 증명하지 못한 주장을 확인한다.
• 증명는 ZF에서 완전히 형식화 가능하며, 강력한 공리를 사용하지 않고 기본적인 재귀 이론과 효과적 위상수학에만 의존한다.