[논문 리뷰] On hyperbolic cobweb manifolds

Emil Molnár, Jenő Szirmai|arXiv (Cornell University)|2017. 01. 24.

Geometric and Algebraic Topology인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 확장된 반사군과 반전 대칭을 사용하여 잘린 완전한 코xe터 수직삼각형을 이용해 면을 붙임으로써 초구형 공간형태로(compact hyperbolic 3-manifold) Cw(6,6,6)를 구성한다. 주요 기여는 체적(~8.29565), 내접한 공의 최대 반지름(~0.57941), 지름(~3.67268)을 명시적으로 계산한 것으로, 기본군은 세 개의 생성자와 두 개의 관계로 정의되며, 무한한 시리즈 Cw(2p,2p,2p)의 대표자로 확인된다.

ABSTRACT

A compact hyperbolic "cobweb" manifold (hyperbolic space form) of symbol $Cw(6,6,6)$ will be constructed in Fig.1,4,5 as a representant of a presumably infinite series $Cw(2p,2p,2p)$ $(3 \le p \in \bN$ natural numbers). This is a by-product of our investigations \cite{MSz16}. In that work dense ball packings and coverings of hyperbolic space $\HYP$ have been constructed on the base of complete hyperbolic Coxeter orthoschemes $\mathcal{O}=W_{uvw}$ and its extended reflection groups $\bG$ (see diagram in Fig.~3. and picture of fundamental domain in Fig.~2). Now $u=v=w=6 (=2p)$. Thus the maximal ball contained in $Cw(6,6,6)$, moreover its minimal covering bal l (so diameter) can also be determined. The algorithmic procedure provides us with the proof of our statements.

연구 동기 및 목표

• p ≥ 3인 경우에 대해 무한한 시리즈 Cw(2p,2p,2p)의 대표자로 초구형 3차원 다양체 Cw(6,6,6)를 구성하는 것.
• 초구형 기하학과 체적 계산을 통해 구성된 다양체의 체적, 내접한 공의 최대 반지름, 지름을 결정하는 것.
• 면 붙임과 쌍대 운동을 통해 기본군을 유도하고, 세 개의 생성자와 두 개의 관계로 표현하는 것.
• 가장 조밀한 공 packing 밀도와 최소 커버링의 밀도를 계산하여 기하학적 불변량을 제공하는 것.
• 이전 연구에서 얻어진 초구형 3차원 공간에서의 조밀한 공 packing 및 커버링 결과를 완전한 코xe터 수직삼각형과 그 확장된 반사군을 사용해 일반화하는 것.

제안 방법

• 모든 이면각이 직각인 완전한 초구형 코xe터 수직삼각형 O = Wuvw를 사용하며, 이의 이면각은 α01 = π/6, α12 = π/6, α23 = π/6이며, 나머지 이면각은 직각이다. 이는 기본 도메인을 형성한다.
• 극 평면 a0와 a3를 이용한 잘림을 통해 이중으로 잘린 수직삼각형을 생성하며, 초구형 기하학이 유지되도록 한다(서명 (+,+,+,-) 및 코xe터-슐레플리 행렬의 음수 행렬식).
• 반사 mi와 축 F03F12를 중심으로 한 반전 h에 의해 생성되는 확장된 반사군 G를 사용하며, 코xe터-슐레플리 다이어그램은 반사의 순서와 대칭성을 기록한다.
• 잘린 수직삼각형의 면을 붙임(접합)하여 닫힌 다양체 Cw(6,6,6)를 형성하며, 기본군을 정의하기 위해 쌍대 운동 s, a1, a2를 사용한다.
• 베르트라미-카이리-클라인 모델에서 정점 간의 거리와 체적을 계산하기 위해 코xe터-슐레플리 행렬의 역행렬 (bij)−1을 사용하여 초구형 거리를 계산한다.
• Kellerhals의 체적 공식을 사용하여 잘린 수직삼각형의 체적을 계산하고, 이를 12배하여 전체 다양체의 체적을 산출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 면을 붙임을 통해 잘린 완전한 코xe터 수직삼각형을 이용해 초구형 3차원 공간의 몫으로서의 compact한 초구형 3차원 다양체 Cw(6,6,6)를 구성할 수 있는가?
• RQ2 결과로 얻어진 다양체 Cw(6,6,6)의 정확한 기하학적 불변량—체적, 내접한 공의 최대 반지름, 지름—은 무엇인가?
• RQ3 Cw(6,6,6)의 기본군은 무엇이며, 접합 과정에서 유도된 생성자와 관계로 어떻게 표현할 수 있는가?
• RQ4 Cw(6,6,6)에서 가장 조밀한 공 packing 밀도와 최소 커버링 밀도는 무엇이며, 이는 다양체의 기하학과 어떻게 관련되는가?
• RQ5 Cw(6,6,6)의 구성 방식을 p ≥ 3인 경우에 대해 무한한 시리즈 Cw(2p,2p,2p)로 일반화할 수 있는가? 이 경우 기하학적 및 위상수학적 성질이 일관되게 유지되는가?

주요 결과

• 코브웹 다양체 Cw(6,6,6)의 체적은 약 8.29565이며, Kellerhals의 공식을 사용해 기본적으로 잘린 수직삼각형 W666의 체적을 12배하여 계산되었다.
• Cw(6,6,6)에 내접할 수 있는 가장 큰 공의 반지름은 약 0.57941이며, 이는 잘림 점 Q에서 면 중심 F12까지의 거리에서 유도되었다.
• Cw(6,6,6)의 지름은 약 3.67268이며, 이는 가장 작은 커버링 공의 반지름의 두 배로 정의되며, 커버링 반지름은 약 1.83634이다.
• Cw(6,6,6)의 기본군은 생성자 a1, a2, s 세 개와 두 개의 관계로 표현되며, 첫 번째 관계는 1 = a1a1s⁻¹a1sa⁻¹₂a⁻¹₂sa⁻¹₂s⁻¹(110자)이며, 대칭적인 38자 관계를 포함한다. 첫 번째 호모로지 군 H₁ ≅ Z₃ × Z₁₂ × Z₆이다.
• Cw(6,6,6)에서 가장 조밀한 공 packing 밀도는 약 0.10503이며, 최소 커버링 밀도는 약 6.05670이다. 이는 공의 체적과 다양체의 체적 비율을 통해 계산되었다.
• Cw(6,6,6)는 p ≥ 3인 경우에 대해 아마도 무한한 시리즈 Cw(2p,2p,2p)의 대표자이며, 이는 이면각이 π/(2p)인 잘린 수직삼각형의 대칭적인 면 붙임을 통해 구성된다.