[논문 리뷰] On Incompressible Averaged Lagrangian Hydrodynamics

Steve Shkoller|ArXiv.org|1999. 08. 19.

Nonlinear Waves and Solitons참고 문헌 31인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 부피를 보존하는 미분형태군의 부분군 위에 정의된 새로운 약한 오른쪽 불변 계량을 통해 경계를 가진 컴acts Riemannian 다양체에서 비압축성 평균화된 오일러 방정식의 매끄러운 해의 존재성과 유일성을 분석함으로써, 경계를 가진 컴acts Riemannian 다양체에서 비압축성 평균화된 오일러 방정식의 매끄러운 해의 존재성과 유일성을 입증한다. 주요 기여는 초기 자료가 $H^s$, $s > n/2 + 1$ 인 경우 매끄러운 지오데식선이 존재함을 증명하고, 섹션 곡률의 부호를 바꿈으로써 원래 오일러 흐름을 안정화하는 계량을 제시하는 것이다. 이는 경계가 있는 경우조차 점성 0 근사가 성립함을 보여준다.

ABSTRACT

This paper is devoted to the geometric analysis of the incompressible averaged Euler equations on compact Riemannian manifolds with boundary. The equation also coincides with the model for a second-grade non-Newtonian fluid. We study the analytical and geometrical properties of the Lagrangian flow map. We prove existence and uniqueness of smooth-in-time solutions for initial data in $H^s$, $s > n/2 +1$ by establishing the existence of smooth geodesics of a new weak right invariant metric on new subgroups of the volume-preserving diffeomorphism group. We establish smooth limits of zero viscosity for the second-grade fluids equations even on manifolds with boundary. We prove that the weak curvature operator of the weak invariant metric is continuous in the $H^s$ topology for $s> n/2+2$, thus proving existence and uniqueness for the Jacobi equation. We show that this new metric stabilizes the Lagrangian flow of the original Euler equations by changing the sign of the sectional curvature.

연구 동기 및 목표

• 경계가 있는 컴acts Riemannian 다양체에서 비압축성 평균화된 오일러 방정식의 기하학적 및 분석적 구조를 분석한다.
• 새로운 약한 오른쪽 불변 계량을 사용하여 초기 자료가 $H^s$, $s > n/2 + 1$ 인 경우 시간에 대해 매끄러운 해의 존재성과 유일성을 확립한다.
• 부피를 보존하는 미분형태군의 부분군에서 이 새로운 계량에 대해 매끄러운 지오데식선의 존재를 증명한다.
• 경계가 있는 다양체에서 제2등급 유체 방정식에 대한 점성 0 근사를 엄밀히 확립한다.
• 새로운 계량이 섹션 곡률의 부호를 바꿈으로써 원래 오일러 역학의 라그랑주 흐름을 안정화시킴을 보여준다.

제안 방법

• 부피를 보존하는 미분형태군의 부분군 위에 새로운 약한 오른쪽 불변 리만 계량을 도입한다.
• 이 계량과 관련된 지오데식 방정식을 분석하여 평균화된 오일러 방정식을 모델링한다.
• 무한차원 리만 기하학 및 PDE 분석 기법을 적용하여 매끄러운 해의 존재성과 유일성을 증명한다.
• $s > n/2 + 2$ 인 경우 $H^s$ 위상에서 약한 곡률 연산자의 연속성을 확립하여 자코비 방정식의 분석을 가능하게 한다.
• 기하학적 구조를 이용하여 새로운 계량이 섹션 곡률의 부호를 바꾸어 원래 오일러 흐름을 안정화시킴을 증명한다.
• 제2등급 비뉴턴 유체 이론을 평균화 모델의 물리적 실현으로 적용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 경계가 있는 컴acts Riemannian 다양체에서 비압축성 평균화된 오일러 방정식에 대해 매끄러운 해가 존재함을 증명할 수 있는가?
• RQ2 부피를 보존하는 미분형태군 위에 정의된 새로운 약한 오른쪽 불변 계량이 라그랑주 흐름의 안정성에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 이 새로운 계량의 약한 곡률 연산자가 소볼레프 공간 $H^s$ 에서 어떤 정(regularity)을 가지는가?
• RQ4 경계가 있는 다양체에서 제2등급 유체 방정식에 대해 점성 0 근사를 엄밀히 확립할 수 있는가?
• RQ5 새로운 계량이 섹션 곡률의 부호를 바꾸어 원래 오일러 역학을 안정화시키는가?

주요 결과

• 초기 자료가 $H^s$ 이고 $s > n/2 + 1$ 인 경우 매끄러운 해가 존재하고 유일하다.
• 부피를 보존하는 미분형태군의 부분군에서 이 새로운 약한 오른쪽 불변 계량에 대해 매끄러운 지오데식선이 존재함이 입증되었다.
• 이 계량의 약한 곡률 연산자는 $s > n/2 + 2$ 인 경우 $H^s$ 위상에서 연속적이며, 자코비 방정식의 잘 정의됨을 보장한다.
• 경계가 있는 다양체에서 제2등급 유체 방정식에 대해 점성 0 근사가 존재함이 증명되었다.
• 새로운 계량이 섹션 곡률의 부호를 바꿈으로써 원래 오일러 방정식의 라그랑주 흐름을 안정화시킨다.
• 평균화된 오일러 방정식은 제2등급 비뉴턴 유체 모델과 일치하며, 이 유체 모델에 기하학적 해석을 제공한다.