[논문 리뷰] On Increasing and Invariant Parking Sequences

Ayomikun Adeniran, Catherine H. Yan|arXiv (Cornell University)|2020. 05. 10.

Advanced Combinatorial Mathematics참고 문헌 8인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 차량 길이가 변하는 경우와 고정된 순서로 주차하는 경우를 일반화한 증가 및 불변 주차 수열을 도입하고 분석한다. 격자 경로와의 이분법적 대응 및 조합적 특성 분석을 통해 순열 불변 및 길이 불변 주차 수열의 정확한 수를 유도한다. 특히, 총 길이 $ n $ 과 트레일러 크기 $ z $ 인 $ k $-강한 주차 수열의 수가 $ k \neq n $ 일 때는 $ z^{(k)} $ 이고, $ k = n $ 일 때는 $ (n+1)^{n-1} $ 임을 보여준다. 본 연구는 주차 함수의 조합론 이론을 길이가 변하는 차량과 길이 및 순서의 순열에 대해 불변하는 주차 행동을 포함하도록 확장한다.

ABSTRACT

The notion of parking sequences is a new generalization of parking functions introduced by Ehrenborg and Happ. In the parking process defining the classical parking functions, instead of each car only taking one parking space, we allow the cars to have different sizes and each takes up a number of adjacent parking spaces after a trailer $T$ parked on the first $z-1$ spots. A preference sequence in which all the cars are able to park is called a parking sequence. In this paper, we study increasing parking sequences and count them via bijections to lattice paths with right boundaries. Then we study two notions of invariance in parking sequences and present various characterizations and enumerative results.

연구 동기 및 목표

• 주어진 길이 벡터 $\vec{y}$ 에 대해 증가 주차 수열의 수를 격자 경로 이분법적 대응을 통해 세는 것.
• 차량 길이 순서의 임의의 재배열에 대해 주차 수열이 불변이 되는 조건을 규명하는 것.
• 고정된 총 길이 $ n $ 을 $ k $ 개의 부분으로 나누는 모든 조합에 대해 유효한 $ k $-강한 주차 수열을 정의하고 세는 것.
• 기본 주차 함수 프레임워크를 변동 길이의 차량과 길이 및 순서의 순열에 대해 불변하는 주차 행동을 포함하도록 확장하는 것.

제안 방법

• 누적 차량 길이로 정의된 오른쪽 경계를 갖는 격자 경로와 증가 주차 수열 사이의 이분법적 대응 수립.
• 길이 벡터 $\vec{y} = (y_1, \dots, y_n)$ 의 순서 통계량을 이용하여 불변 주차 수열의 수를 유도.
• $ k $-강한 주차 수열을 $ n $ 을 $ k $ 개의 부분으로 나누는 모든 조합에 대해 $\mathsf{SPS}$ 집합의 교집합으로 정의하며, 특히 최소 길이 조합 $\vec{y}_0 = (1^{k-1}, n-k+1)$ 에 초점을 맞춘다.
• 조합론적 추론과 포함배제 원리를 적용하여 $\mathsf{SPS}_k(n;z) = \mathsf{SPS}\{\vec{y}_0; z\}$ 를 증명함으로써 문제를 단일 대표 조합으로 단순화한다.
• 길이 벡터의 구조와 주차 과정을 이용하여 $\#\mathsf{SPS}_k(n;z) = z^{(k)}$ ($ k \neq n $) 및 $ z(n+z)^{n-1} $ ($ k = n $) 공식을 도출한다.
• 길이 벡터가 일정하지 않다면 주차 수열이 순열에 대해 불변이 아니라는 것을, 더 긴 차량이 순서를 바꾼 후 더 짧은 차량을 막는 반례를 구성하여 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 주어진 길이 벡터 $\vec{y}$ 에 대해 증가 주차 수열의 수는 얼마이며, 격자 경로 이분법적 대응을 통해 어떻게 세는가?
• RQ2 어떤 길이 벡터 $\vec{y}$ 에 대해 주차 수열이 차량 순서의 모든 재배열에 대해 불변이 되는가?
• RQ3 고정된 총 길이 $ n $ 과 트레일러 크기 $ z $ 에 대해 $ k $-강한 주차 수열의 크기는 얼마인가? 즉, $ n $ 을 $ k $ 개의 부분으로 나누는 모든 조합에 대해 유효한 수열인가?
• RQ4 길이 벡터 $\vec{y}$ 가 순서가 바뀌었을 때 주차 수열이 유효하게 유지되는 조건은 무엇이며, 그러한 수열은 어떻게 조합론적으로 특성화할 수 있는가?

주요 결과

• 총 차량 길이 $ n $ 과 트레일러 크기 $ z $ 인 $ k $-강한 주차 수열의 수는 $ k \neq n $ 일 때 $ z^{(k)} = z(z+1)\cdots(z+k-1)$ 이며, 이는 추론 4.5에서 입증되었다.
• $ k = n $ 일 때, $ k $-강한 주차 수열의 수는 $ (n+1)^{n-1} $ 이며, 이는 고전적인 주차 함수의 수와 일치한다.
• $ k \neq n $ 일 때, 집합 $\mathsf{SPS}_k(n;z)$ 는 $\vec{y}_0 = (1^{k-1}, n-k+1)$ 에 대해 $\mathsf{SPS}\{\vec{y}_0; z\}$ 와 동일하며, 이는 명제 4.4에서 확인되었다.
• 모든 일정하지 않은 $\vec{y}$ 에 대해 $\#\mathsf{SPS}\{\vec{y}; z\} = z \cdot \prod_{i=1}^{n-1} (z + y_{(1)} + \cdots + y_{(i)}) $ 이 성립하며, 이는 추론 4.3에 따라 참이다.
• 길이 벡터가 일정하지 않다면 주차 수열은 차량 길이의 순서 변경에 대해 불변이 아니며, 길이가 $ 2,2 $ 인 차량과 선호도 $ (2,1) $ 이 실패하는 반례를 통해 이를 입증하였다.
• $ k $-강한 주차 수열의 집합은 공백이 아니며 유한하며, $\mathsf{SPS}_1(n) = \{(1)\}$ 이고 $\mathsf{SPS}_n(n) = \mathsf{PF}_n $ 이다. 이는 고전적인 주차 함수를 의미한다.