[논문 리뷰] On independent set on B1-EPG graphs

Marin Bougeret, Stéphane Bessy외 2명|arXiv (Cornell University)|2015. 10. 02.

Advanced Graph Theory Research참고 문헌 7인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 격자 위에서 최대 한도의 굴곡을 가진 경로로 표현되는 B₁-EPG 그래프에서 최대 독립집합(MIS) 문제를 조사한다. MIS가 NP-완전임을 증명하고, 한정된 수의 경로 형태나 수평/수직 세그먼트 길이가 제한된 강력한 제약 조건 하에서도 PTAS가 존재하지 않음을 보이며, 그러나 수평 길이가 상수로 유계일 경우 PTAS가 존재함을 보인다. 또한 수평 길이가 유계일 경우 MIS는 PTAS를 갖는다. 또한 세 경로 형태에 제한된 경우 MIS는 FPT이며, B₂-EPG에서는 W₁-난이도임을 보이며, 일반적인 B₁-EPG의 경우는 여전히 열려있다.

ABSTRACT

In this paper we consider the Maximum Independent Set problem (MIS) on $B_1$-EPG graphs. EPG (for Edge intersection graphs of Paths on a Grid) was introduced in ~\cite{edgeintersinglebend} as the class of graphs whose vertices can be represented as simple paths on a rectangular grid so that two vertices are adjacent if and only if the corresponding paths share at least one edge of the underlying grid. The restricted class $B_k$-EPG denotes EPG-graphs where every path has at most $k$ bends. The study of MIS on $B_1$-EPG graphs has been initiated in~\cite{wadsMIS} where authors prove that MIS is NP-complete on $B_1$-EPG graphs, and provide a polynomial $4$-approximation. In this article we study the approximability and the fixed parameter tractability of MIS on $B_1$-EPG. We show that there is no PTAS for MIS on $B_1$-EPG unless P$=$NP, even if there is only one shape of path, and even if each path has its vertical part or its horizontal part of length at most $3$. This is optimal, as we show that if all paths have their horizontal part bounded by a constant, then MIS admits a PTAS. Finally, we show that MIS is FPT in the standard parameterization on $B_1$-EPG restricted to only three shapes of path, and $W_1$-hard on $B_2$-EPG. The status for general $B_1$-EPG (with the four shapes) is left open.

연구 동기 및 목표

• B₁-EPG 그래프에서 최대 독립집합(MIS) 문제의 근사 가능성과 고정 매개변수 복잡도를 규명하는 것.
• 특정 구조적 제약 조건(예: 단일 경로 형태, 세그먼트 길이 유계) 하에서 B₁-EPG 그래프에서 MIS에 대한 PTAS 존재 여부를 조사하는 것.
• 특히 제한된 경로 형태에 대해 B₁-EPG에서 MIS의 매개변수 복잡도를 탐색하는 것.
• B₂-EPG에서 MIS의 난이도 결과를 규명하고 B₁-EPG와 비교하는 것.

제안 방법

• B₂-EPG 그래프에서 MIS가 NP-완전이자 W₁-난이도임을 보이기 위해 k-클리크 문제로의 감소를 수행한다.
• 순환 트랙과 경로 교차를 이용한 간선 및 정점 게이지 구조를 설계하여 독립집합 내에서 클리크 선택을 시뮬레이션한다.
• 각 간선 및 정점 게이지에서 6-경로 및 3-경로 클리크를 사용하여 독립집합 크기를 유계화하고 선택 일관성을 강제한다.
• 수평 경로 길이가 상수로 유계일 경우 B₁-EPG 그래프에서 PTAS를 설계하며, 구조적 제약 조건을 활용한다.
• 단일 경로 형태 또는 수평/수직 세그먼트 길이가 3으로 유계일 경우조차도 B₁-EPG에서 MIS에 대한 PTAS가 존재하지 않음을 증명한다.
• 모서리 좌표, 수평/수직 투영, 격자 모서리 공유를 사용한 경로 표현 분석을 통해 인접성 관계를 모델링한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 경로의 수평 길이가 유계일 경우 B₁-EPG 그래프에서 MIS에 대한 PTAS가 존재하는가?
• RQ2 단일 경로 형태만 존재할 경우 B₁-EPG 그래프에서 MIS에 대한 PTAS가 존재하는가?
• RQ3 세 가지 경로 형태로 제한된 B₁-EPG 그래프에서 MIS는 FPT 시간 내에 해결 가능한가?
• RQ4 B₂-EPG 그래프에서 MIS는 W₁-난이도인가?
• RQ5 모든 네 가지 경로 형태를 포함하는 일반 B₁-EPG 그래프에서 MIS의 근사 가능성 상태는 어떠한가?

주요 결과

• P = NP가 아닐 경우, 단일 경로 형태를 사용하거나 수평/수직 세그먼트 길이를 3으로 유계로 제한하더라도 B₁-EPG 그래프에서 MIS에 대한 PTAS가 존재하지 않는다.
• 모든 수평 경로 세그먼트 길이가 상수로 유계일 경우, B₁-EPG 그래프에서 MIS에 대한 PTAS가 존재한다.
• 세 가지 경로 형태로 제한된 B₁-EPG 그래프에서 MIS는 표준 매개변수화 하에 FPT이다.
• B₂-EPG 그래프에서 MIS는 W₁-난이도이며, 이는 매개변수화 측면에서 강력한 비결정성임을 시사한다.
• k-클리크 문제에서 B₁-EPG 그래프로의 감소는 간선 및 정점 게이지에 6-경로 및 3-경로 클리크를 사용하여 독립집합 크기를 통한 클리크 선택을 시뮬레이션한다.
• 논문은 모든 네 가지 경로 형태를 포함하는 일반 B₁-EPG 그래프에서 MIS의 매개변수 복잡도를 여전히 열려있다.