[논문 리뷰] On inequalities for A-numerical radius of operators

Pintu Bhunia, Kallol Paul외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 08. 29.

Mathematical Inequalities and Applications참고 문헌 25인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 힐버트 공간에서의 연산자에 대한 A-수치적 반지름에 대해 새로운 상한과 하한을 확립하며, 기존 부등식을 일반화하고 개선한다. A-대칭 연산자, A-자기수반성, 그리고 연산자 행렬 기법을 활용하여 $ w_A(T) $에 대한 더 정밀한 추정치를 도출한다. 이는 A-최소 모듈러스와 A-Crawford 수를 포함한 새로운 하한을 포함하며, $ 2\times2 $ 연산자 행렬과 A-노름 하에서의 연산자 곱의 수치적 반지름에 대한 향상된 하한을 제공한다.

ABSTRACT

Let $A$ be a positive operator on a complex Hilbert space $\mathcal{H}.$ We present inequalities concerning upper and lower bounds for $A$-numerical radius of operators, which improve on and generalize the existing ones, studied recently in [A. Zamani, A-Numerical radius inequalities for semi-Hilbertian space operators, Linear Algebra Appl. 578 (2019) 159-183]. We also obtain some inequalities for $B$-numerical radius of $2 imes 2$ operator matrices where $B$ is the $2 imes 2$ diagonal operator matrix whose diagonal entries are $A$. Further we obtain upper bounds for $A$-numerical radius for product of operators which improve on the existing bounds.

연구 동기 및 목표

• 유계 선형 연산자에 대한 A-수치적 반지름에 대한 기존 상한과 하한을 더욱 정교화하고 일반화하는 것.
• Zamani(2019)의 결과를 A-최소 모듈러스와 A-Crawford 수를 통합하여 더 탴정한 추정치로 확장하는 것.
• B = \text{diag}(A,A) 일 때, $ 2\times2 $ 연산자 행렬에 대한 B-수치적 반지름에 대한 새로운 부등식을 유도하는 것.
• 연산자 곱 $ XY $ 의 A-수치적 반지름 $ w_A(XY) $ 에 대한 알려진 상한을 개선하는 것.
• 여러 개의 A-노름 기반 불변량을 사용하여 $ w_A(T) $ 에 대한 상호비교 불가능하지만 종합적으로 더 강력한 하한을 제공하는 것.

제안 방법

• 모어-펜로즈 역행렬을 통해 정의된 A-대칭 연산자 $ T^{\sharp_A} = A^\dagger T^* A $ 를 이용하여 A-노름과 A-수치적 반지름을 정의한다.
• A-연산자 반노름 $ \|T\|_A = \sup_{\|x\|_A=1, x\in\overline{\mathcal{R}(A)}} \|Tx\|_A $ 과 A-최소 모듈러스 $ m_A(T) = \inf_{\|x\|_A=1} \|Tx\|_A $ 를 적용한다.
• 하한 유도의 핵심 요소로 A-Crawford 수 $ c_A(T) = \inf_{\|x\|_A=1} |\langle Tx,x\rangle_A| $ 를 사용한다.
• $ \mathcal{H} \oplus \mathcal{H} $ 위에서 $ B = \text{diag}(A,A) $ 를 가진 연산자 행렬 $ T = \begin{pmatrix} 0 & X \\ Y & 0 \end{pmatrix} $ 을 활용하여 $ w_B(T) $ 와 $ w_A(X), w_A(Y) $ 를 연결한다.
• 레마 3.4 를 적용하여 $ \|Tx\|_A^2 + |\langle T^2x,x\rangle_A| \leq 2w_A(T)\|Tx\|_A\|x\|_A $ 형태의 부등식을 도출하고, 이를 행렬 형태로 확장한다.
• 이 부등식들을 $ \overline{\mathcal{R}(A)} $ 내의 정규화된 벡터에 대한 상한 추정치와 결합하여 $ w_A(T) $ 에 대한 새로운 하한을 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 A-최소 모듈러스와 A-Crawford 수를 활용하여 $ w_A(T) $ 의 더 탄탄한 상한과 하한을 도출할 수 있는가?
• RQ2 비대각선 블록을 가진 $ 2\times2 $ 연산자 행렬의 수치적 반지름은 $ w_A(X), w_A(Y) $ 와 $ \|X\|_A, \|Y\|_A $ 로 어떻게 추정할 수 있는가?
• RQ3 Y^{\sharp_A}X 또는 YX^{\sharp_A} 의 A-Crawford 수를 통합함으로써 $ w_A(XY) $ 의 기존 상한을 개선할 수 있는가?
• RQ4 연산자 곱 $ XY $ 의 A-수치적 반지름과 $ X $ 및 $ Y $ 의 개별 노름과 수치적 반지름 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ5 여러 개의 상호비교 불가능한 $ w_A(T) $ 의 하한을 조합하여 더 엄격한 추정치를 얻을 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 기존의 상한 $ w_A(XY) \leq 2w_A(X)\|Y\|_A $ 보다 향상된 $ w_A(XY) \leq 2w_A(X)\|Y\|_A - c_A(Y^{\sharp_A}X) $ 를 확립한다.
• 또한 $ w_A(XY) \leq 2w_A(Y)\|X\|_A - c_A(YX^{\sharp_A}) $ 를 증명하여 곱의 A-수치적 반지름에 대한 이중적인 개선을 제공한다.
• $ 2\times2 $ 연산자 행렬 $ \begin{pmatrix} 0 & X \\ Y & 0 \end{pmatrix} $ 에 대해 $ \|X\|_A^2 + c_A(YX) \leq 2w_B(T)\|X\|_A $ 이 성립하며, 이는 $ w_B(T) $ 를 포함한 새로운 하한을 제공한다.
• A-최소 모듈러스와 A-수치적 반지름을 행렬의 B-수치적 반지름과 연결하는 부등식 $ m_A^2(X) + w_A(YX) \leq 2w_B(T)\|X\|_A $ 가 도출된다.
• 새로운 하한 $ w_A(T) \geq \frac{1}{2\|T\|_A} \max\left\{ \|T\|_A^2 + c_A(T^2), m_A^2(T) + w_A(T^2) \right\} $ 이 얻어지며, 이는 [25, Cor. 2.8] 보다 개선된 것이다.
• 유도된 하한들은 상호비교 불가능하며, 그 최댓값은 개별 하한보다 엄격히 더 탄탄한 추정치를 제공한다.