[논문 리뷰] On infinitesimal generators of sublinear Markov semigroups

Franziska Kühn|arXiv (Cornell University)|2019. 09. 18.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 15인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 하위선형 마코프 세미군에 대한 쿠르게-폰 발렌펠스 정리와 딩킨의 공식을 하위선형 확장하여, $C_c^∞(\mathbb{R}^d)$ 위에서 정의된 양의 최대 원리(positive maximum principle)를 만족하는 모든 하위선형 생성자(generator)가 음의 정부호 기호를 가진 가짜 미분연산자들의 초월(superior)으로 표현될 수 있음을 증명한다. 이는 하위선형 세미군의 무한소 생성자에 대한 표현을 제공하며, 비선형 하미르톤-자코비-벨리만(Hamilton–Jacobi–Bellman) 방정식과 하위선형 기대 하에서의 레비 과정(Lévy processes)과의 연결을 이룬다.

ABSTRACT

We establish a Dynkin formula and a Courrège-von Waldenfels theorem for sublinear Markov semigroups. In particular, we show that any sublinear operator $A$ on $C_c^{\infty}(\mathbb{R}^d)$ satisfying the positive maximum principle can be represented as supremum of a family of pseudo-differential operators: $$Af(x) = \sup_{α\in I} (-q_α(x,D) f)(x).$$ As an immediate consequence, we obtain a representation formula for infinitesimal generators of sublinear Markov semigroups with a sufficiently rich domain. We give applications in the theory of non-linear Hamilton--Jacobi--Bellman equations and Lévy processes for sublinear expectations.

연구 동기 및 목표

• 기존의 쿠르게-폰 발렌펠스 정리와 딩킨의 공식을 하위선형 마코프 세미군의 맥락으로 확장하는 것.
• 다양한 도메인이 충분히 풍부한 하위선형 마코프 세미군의 무한소 생성자를 가짜 미분연산자들의 초월(superior)으로 특성화하는 것.
• 하위선형 세미군과 비선형 하미르톤-자코비-벨리만(HJB) 방정식 사이의 연결 고리를 설정하는 것.
• 레비 측도의 조건이 강한 경우, 하위선형 레비 과정의 생성자에 의한 표현을 제공하고 유일성을 증명하는 것.

제안 방법

• 연산자의 하위가환성(subadditivity)과 양의 동차성(positive homogeneity)을 이용하여 하위선형 세미군에 대한 일반화된 딩킨 공식을 유도한다.
• 모든 하위선형 연산자 $A$가 $C_c^\infty(\mathbb{R}^d)$ 위에서 양의 최대 원리를 만족할 경우, $Af(x) = \sup_{\alpha \in I} (-q_\alpha(x,D)f)(x)$ 형태의 표현을 가짐을 증명한다. 여기서 $q_\alpha$는 가짜 미분연산자이다.
• 쿠르게-폰 발렌펠스 정리의 하위선형 판본을 수립하여, 생성자가 이동, 확산, 점프 성분을 포함한 레비 삼중항의 집합에 대한 초월(superior) 표현을 가짐을 보인다.
• 이 표현을 활용하여, 진동 방정식 $\partial_t u - A_x u = 0$의 해 $u(t,x) = T_t f(x)$가 생성자에 의해 주어진 가족의 초월(superior)을 포함하는 비선형 HJB 방정식의 볼록 해( viscosity solution)임을 보인다.
• 레비 측도의 조건이 강할 경우, $C_c^\infty(\mathbb{R}^d)$ 위에서 생성자가 동일한 두 하위선형 마코프 콘볼루션 세미군이 모든 $t \geq 0$ 및 $f \in C_b^{\operatorname{uc}}(\mathbb{R}^d)$ 에 대해 동일함을 보인다.
• 볼록 해 이론과 강한 연속성(strong continuity)을 활용하여, $\nu_\theta$에 대한 조건이 강할 경우 세미군의 유일성을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기존의 쿠르게-폰 발렌펠스 정리는 하위선형 마코프 세미군으로 확장 가능한가?
• RQ2 하위선형 세미군에 대해 딩킨 공식이 성립하는가? 그리고 선형 경우와 어떻게 다를까?
• RQ3 다양한 도메인이 충분히 풍부한 하위선형 세미군의 무한소 생성자는 가짜 미분연산자들의 초월(superior)으로 표현될 수 있는가?
• RQ4 하위선형 마코프 세미군은 비선형 하미르톤-자코비-벨리만(HJB) 방정식과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ5 하위선형 마코프 콘볼루션 세미군이 $C_c^\infty(\mathbb{R}^d)$ 위에서의 생성자에 의해 유일하게 결정되는 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 하위선형 마코프 세미군의 무한소 생성자 $A$는 도메인이 $C_c^\infty(\mathbb{R}^d)$ 를 포함할 경우 다음 표현을 가진다: \\ Af(x) = \sup_{\alpha \in I} \left( -c_\alpha(x)f(x) + b_\alpha(x) \cdot \nabla f(x) + \frac{1}{2} \operatorname{tr}(Q_\alpha(x) \cdot \nabla^2 f(x)) + \int_{y \neq 0} (f(x+y) - f(x) - y \cdot \nabla f(x) \mathbf{1}_{(0,1)}(|y|)) \, \nu_\alpha(x,dy) \right).
• 하위선형 세미군에 대해 일반화된 딩킨 공식이 성립한다: $f \in \mathcal{D}(A)$ 이면 $T_t f - f = \int_0^t T_s A f \, ds$.
• 진동 방정식 $\partial_t u - A_x u = 0$의 해 $u(t,x) = T_t f(x)$ 는 생성자가 가족의 초월(superior)을 포함하는 비선형 HJB 방정식의 볼록 해( viscosity solution)이다.
• 강한 조건인 $\lim_{R \to \infty} \sup_{\theta \in I} \int_{|y| > R} \nu_\theta(dy) = 0$ 이 성립할 경우, $C_c^\infty(\mathbb{R}^d)$ 위에서 동일한 생성자를 가진 두 하위선형 마코프 콘볼루션 세미군은 모든 $t \geq 0$ 및 $f \in C_b^{\operatorname{uc}}(\mathbb{R}^d)$ 에 대해 동일하다.
• 레비 측도의 가족 $\nu_\theta$ 가 강할 경우, 하위선형 레비 과정과 관련된 세미군은 $C_c^\infty(\mathbb{R}^d)$ 위에서의 생성자에 의해 유일하게 결정된다.
• 가장자기 확률측도 $\mathfrak{P}^x$ 에 대한 초월(superior)을 통한 구성된 하위선형 레비 과정은 강한 조건이 성립할 경우, 동일한 유한차원 분포와 세미군을 가진다.