[논문 리뷰] On inner product in modular tensor categories. I

Alexander Kirillov|arXiv (Cornell University)|1995. 08. 24.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 21인용 수 30

한 줄 요약

이 논문은 뿌리 단위에서 양자군으로부터 유도된 모듈라 텐서 범주에서의 상호작용자 공간 위에 $SL_2(\mathbb{Z})$의 단일 표현을 수립한다. 이 공간들에 자연스러운 헤르미트 내적을 구성하여 모듈라 군 작용이 이 내적에 대해 유니터리임을 증명하고, $S$-행렬을 $A_{n-1}$ 유형의 맥도널드 다항식과 연결하며, $\mathfrak{sl}_n$의 경우 명시적인 공식을 제시하고 체레드니크의 차분 푸리에 변환과의 연결 고리를 밝힌다.

ABSTRACT

In this paper we study modular tensor categories (braided rigid balanced tensor categories with additional finiteness and non-degeneracy conditions), in particular, representations of quantum groups at roots of unity. We show that the action of modular group on certain spaces of morphisms in MTC is unitary with respect to the natural inner product on these spaces. In a special case of category based on representations of the quantum group U_q sl_n at roots of unity we show that in some of these spaces of morphisms (for U_q sl_2, in all of them) the action of modular group can be written in terms of values of Macdonald's polynomials of type A at roots of unity. This gives identities for these special values, both known before (symmetry identity) and new ones. The paper contains a detailed exposition of the theory of modular categories as well as construction of modular categories from representation of quantum groups at roots of unity

연구 동기 및 목표

• 뿌리 단위에서 양자군으로부터 유도된 모듈라 텐서 범주에서의 상호작용자 공간 위에 표준적인 헤르미트 내적을 정의하는 것.
• 이 내적에 대해 $SL_2(\mathbb{Z})$의 프로젝티브 작용이 유니터리임을 증명하는 것.
• 이러한 모듈라 텐서 범주의 $S$-행렬과 $A_{n-1}$ 유형 맥도널드 다항식의 특수값 사이의 정확한 연결 고리를 설정하는 것.
• $\mathfrak{g} = \mathfrak{sl}_n$의 경우, $S$-행렬의 항목들이 뿌리 단위에서 평가된 맥도널드 다항식으로 표현될 수 있음을 보여주는 것.
• 일반적으로 구성된 내적이 양의 정부호임을 추측하고, $\mathfrak{sl}_2$의 경우에서의 검증을 제시하는 것.

제안 방법

• 양자 와일 군의 원소 $\Omega$를 사용하여 $q = \varepsilon = e^{\pi i / (m\kappa)}$에서 $U_q\mathfrak{g}$의 표현 범주에 헤르미트 구조를 정의하는 것.
• 모듈라 군의 원소 $x$에 대해 $H(xv, v') = H(v, S\omega(x)v')$를 만족하는 임의의 고유 최고 가중치 모듈러스 위에 비퇴화적인 헤르미트 형식 $H$를 구성하는 것.
• $t \in [0,1]$에 대한 변형을 사용하여 $q=1$의 경우로의 연속성에 기반해 형식 $H$의 양의 정부호성을 증명하는 것.
• 내적을 $H(v \otimes w, v' \otimes w') = H(v, v')H(w, w')$를 통해 텐서곱으로 확장하고, $\omega$ 작용에 대해 불변성을 유지하는 것.
• 리본 토글과 쌍대성에 의해 정의된 $S$-행렬을 사용하여 상호작용자 공간과 모듈라 군 표현 간의 관계를 설정하는 것.
• $S$-행렬 항목들을 뿌리 단위에서 평가된 $A_{n-1}$ 유형 맥도널드 다항식의 값으로 표현하고, 체레드니크의 차분 푸리에 변환 공식과 일치시키는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모듈라 텐서 범주에서 뿌리 단위에서의 양자군으로부터 유도된 상호작용자 공간 위에 자연스러운 헤르미트 내적이 존재하는가?
• RQ2 이 내적에 대해 모듈라 군 $SL_2(\mathbb{Z})$의 작용이 유니터리한가?
• RQ3 이러한 범주에서의 $S$-행렬은 뿌리 단위에서 평가된 맥도널드 다항식으로 표현될 수 있는가?
• RQ4 $\mathfrak{sl}_n$의 $S$-행렬은 체레드니크의 차분 푸리에 변환과 어떻게 관련되는가?
• RQ5 구성된 헤르미트 내적이 일반적으로 양의 정부호인가, 그리고 $\mathfrak{sl}_2$ 이외의 경우에서도 검증 가능한가?

주요 결과

• 표준적인 헤르미트 내적 $H$가 $U_\varepsilon\mathfrak{g}$의 고유 표현 위에 유일하게 구성되며, $H(xv, v') = H(v, S\omega(x)v')$를 만족하는 불변 조건을 만족한다.
• $\mathfrak{g} = \mathfrak{sl}_n$의 경우 뿌리 단위에서 내적은 연속적인 변형을 통해 $q=1$의 경우로부터 유도되어 양의 정부호임을 증명한다.
• $\mathfrak{sl}_n$의 $S$-행렬 항목들이 뿌리 단위에서 평가된 $A_{n-1}$ 유형 맥도널드 다항식의 특수값과 일치함을 보여준다.
• 이 값들은 체레드니크의 차분 푸리에 변환의 행렬 계수와 일치하여 표현 이론과 특수 함수 사이의 깊은 연결 고리를 확립한다.
• $SL_2(\mathbb{Z})$의 작용이 구성된 내적에 대해 상호작용자 공간 위에서 유니터리임을 증명한다.
• 일반적으로 내적이 양의 정부호임을 추측하고, $\mathfrak{sl}_2$의 경우에서 부분적인 검증을 제시한다.