[논문 리뷰] On Integer Additive Set-Indexers of Graphs

Sudev Naduvath, K. A. Germina|arXiv (Cornell University)|2013. 12. 30.

Graph Labeling and Dimension Problems참고 문헌 16인용 수 36

한 줄 요약

이 논문은 그래프 이론에서 정수 덧셈 집합 인덱서(IAIS)를 도입하고 조사하며, IASI 그래프를 정의하고 그 구조적 성질을 분석한다. 모든 그래프가 IASI를 갖는다는 것을 증명하고, 약한 및 강한 IASI의 조건을 설정하며, 선 그래프 및 총 그래프와 같은 관련 그래프에서 IASI의 적합성을 검토한다. 강한 IASI가 이러한 연산에 의해 보존되지 않는다는 것을 보여준다. 주요 기여는 유한한 기저 집합을 가진 IASI 그래프의 특성화이며, 정점 수와 균일성에 기반한 최소 기저 집합 크기의 범위를 포함한다.

ABSTRACT

A set-indexer of a graph $G$ is an injective set-valued function $f:V(G) ightarrow2^{X}$ such that the function $f^{\oplus}:E(G) ightarrow2^{X}-\{\emptyset\}$ defined by $f^{\oplus}(uv) = f(u){\oplus} f(v)$ for every $uv{\in} E(G)$ is also injective, where $2^{X}$ is the set of all subsets of $X$ and $\oplus$ is the symmetric difference of sets. An integer additive set-indexer is defined as an injective function $f:V(G) ightarrow 2^{\mathbb{N}_0}$ such that the induced function $g_f:E(G) ightarrow 2^{\mathbb{N}_0}$ defined by $g_f (uv) = f(u)+ f(v)$ is also injective. A graph $G$ which admits an IASI is called an IASI graph. An IASI $f$ is said to be a {\em weak IASI} if $|g_f(uv)|=max(|f(u)|,|f(v)|)$ and an IASI $f$ is said to be a {\em strong IASI} if $|g_f(uv)|=|f(u)| |f(v)|$ for all $u,v\in V(G)$. In this paper, we study about certain characteristics of inter additive set-indexers.

연구 동기 및 목표

• 정수 덧셈 집합 인덱서(IASI)를 그래프 이론에서 집합 인덱서의 일반화로 체계화하고 연구하는 것.
• 모서리 집합 인덱싱 수 성질에 기반해 그래프가 약한 또는 강한 IASI를 갖는 조건을 조사하는 것.
• 부분그래프, 선 그래프, 총 그래프와 같은 관련 그래프에서 IASI의 적합성을 결정하는 것.
• 특히 균일하게 집합 인덱싱된 정점에 대해, IASI에 필요한 유한 기저 집합의 최소 크기를 제약하는 것.
• IASI 그래프에서 집합-성격 있는 성질과 집합-순서 있는 성질과 관련된 열린 문제를 규명하는 것.

제안 방법

• 모든 함수 f: V(G) → 2^ℕ₀가 단사 함수이며, 유도된 간선 함수 g_f(uv) = f(u) + f(v) 또한 단사 함수가 되도록 IASI를 정의하는 것.
• 정점 레이블에서 간선 레이블을 유도하기 위해 합집합 연산 A + B = {a + b | a ∈ A, b ∈ B}을 사용하는 것.
• 기저 집합 크기의 하한을 유도하기 위해 올림 함수를 적용하는 것: n-정점 그래프에 대해 |X| ≥ ⌈log₂(n+1)⌉.
• l-균일하게 집합 인덱싱된 정점에 대해, 이 필수 조건이 C(|X|, l) ≥ n를 만족해야 한다는 것을 증명하는 것.
• 부분그래프, 간선 수축, 기본 위상적 축소가 IASI 성질을 유지한다는 것을 증명하는 것.
• 강한 IASI가 상속될 수 있는지 여부를 판단하기 위해 선 그래프 및 총 그래프의 인접 조건을 분석하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 유한 단순 그래프는 정수 덧셈 집합 인덱서(IASI)를 갖는가?
• RQ2 그래프가 약한 또는 강한 IASI를 갖는 조건는 무엇이며, 간선 집합 인덱싱 수 성질에 대한 영향은 무엇인가?
• RQ3 약한 또는 강한 IASI 그래프의 선 그래프 또는 총 그래프가 약한 또는 강한 IASI를 상속할 수 있는가?
• RQ4 그래프 G가 기저 집합 X에 대해 IASI를 갖기 위해 필요한 최소 기수는 얼마인가?
• RQ5 IASI가 집합-성격 있는지 또는 집합-순서 있는지 여부는 무엇이며, 이러한 레이블링에 필요한 충분한 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 모든 유한 단순 그래프는 ℕ₀의 서로 다른 비공집합 부분집합을 사용해 단사 레이블링을 구성함으로써 IASI를 갖는다.
• n-정점 그래프에 대해 유한 기저 집합 X의 최소 크기는 적어도 ⌈log₂(n+1)⌉여야 하며, 이는 충분한 서로 다른 비공집합 부분집합을 확보하기 위함이다.
• l-균일하게 집합 인덱싱된 정점 집합에 대해, 기저 집합은 C(|X|, l) ≥ n를 만족해야 하며, 이는 크기가 l인 부분집합이 적어도 n개 있어야 한다는 의미이다.
• IASI 그래프의 부분그래프는 원래 레이블링 함수의 제약을 통해 IASI 성질을 상속한다.
• 강한 IASI 그래프의 선 그래프 및 총 그래프는 충돌하는 인접 조건과 차집합 조건으로 인해 강한 IASIs를 갖지 못한다.
• 논문은 IASI의 집합-성격 있는 성질과 집합-순서 있는 성질에 관한 열린 문제를 규명하며, 향후 연구를 위한 방향을 제안한다.