[논문 리뷰] On intersection density of transitive groups of degree a product of two odd primes

Ademir Hujdurović, Klavdija Kutnar외 4명|arXiv (Cornell University)|2021. 07. 20.

Coding theory and cryptography참고 문헌 25인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 p와 q가 홀수 소수이고 p = (q^k - 1)/(q - 1)인 경우, 교차 밀도가 q인 이행적 치환군을 구성하여, 모든 이러한 군이 교차 밀도 1을 가져야 한다는 추측을 반박한다. 구성은 F_q 위의 순환 코드를 사용하며, 모든 비영인 코드어가 p개 이하의 비영인 성분을 가지도록 하여 큰 교차 집합의 존재를 보장한다. 핵심 결과는 p가 프로젝티브 소수일 때, 교차 밀도가 q인 비순환 군의 가닥을 제시하여, p가 프로젝티브 소수일 경우도 교차 밀도가 1이 아니라는 것을 보여준다.

ABSTRACT

Two elements $g$ and $h$ of a permutation group $G$ acting on a set $V$ are said to be intersecting if $g(v) = h(v)$ for some $v \in V$. More generally, a subset ${\cal F}$ of $G$ is an intersecting set if every pair of elements of ${\cal F}$ is intersecting. The intersection density $ ho(G)$ of a transitive permutation group $G$ is the maximum value of the quotient $|{\cal F}|/|G_v|$ where $G_v$ is a stabilizer of $v\in V$ and ${\cal F}$ runs over all intersecting sets in $G$. Intersection densities of transitive groups of degree $pq$, where $p>q$ are odd primes, is considered. In particular, the conjecture that the intersection density of every such group is equal to $1$ (posed in [ J.~Combin. Theory, Ser. A 180 (2021), 105390]) is disproved by constructing a family of imprimitive permutation groups of degree $pq$ (with blocks of size $q$), where $p=(q^k-1)/(q-1)$, whose intersection density is equal to $q$. The construction depends heavily on certain equidistant cyclic codes $[p,k]_q$ over the field $\mathbb{F}_q$ whose codewords have Hamming weight strictly smaller than $p$.

연구 동기 및 목표

• 차수 pq인 이행적 치환군의 교차 밀도를 조사한다. 여기서 p와 q는 홀수 소수이다.
• 논문 [13]에서 제기한 추측 1.1(iii)의 타당성을 검증한다. 이 추측은 모든 이러한 군이 교차 밀도 1을 가져야 한다고 주장한다.
• 차수 pq인 이행적 군 중 교차 밀도가 1을 초과하는 구체적인 예를 구성한다.
• 제한된 무게를 가진 순환 코드와 치환군의 교차 밀도 사이의 관계를 수립한다.
• 대수적 부호 이론을 활용하여 추측에 대한 반례를 제공한다.

제안 방법

• F_q 위의 길이 m인 순환 코드 C로부터 Z_q × Z_m 위의 치환군 G(C)를 구성한다. 여기서 이동 생성자 α와 코드어를 통한 성분별 덧셈을 사용한다.
• 각 c ∈ C에 대해 β_c를 (i,j) ↦ (i + c_j, j)로 정의하여, (Z_q)^k와 동형인 정규부분군 K를 형성한다.
• K ⋊ ⟨α⟩ 형태의 반직접곱으로 G(C) = K ⋊ ⟨α⟩를 구성하며, 여기서 α는 두 번째 좌표에 대한 순환 이동을 생성한다.
• C의 모든 코드어가 적어도 하나의 0을 포함한다면, K의 각 원소는 어떤 점도 고정하므로, K는 크기가 q^k인 교차 집합이 된다는 사실을 활용한다.
• [6, 정리 2.6]을 적용하여 ρ(G(C)) ≤ q를 유도하고, |K| = q^k로부터 유도된 하한을 결합하여 ρ(G(C)) = q임을 결론짓는다.
• 정리 4.5를 사용하여 p = (q^k - 1)/(q - 1)이 프로젝티브 소수일 경우 이러한 코드를 구성함으로써, 모든 비영인 코드어가 p - q^{k-1} > 0개의 0을 가짐을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 p > q인 홀수 소수일 때, 논문 [13]에서 제기한 것처럼, 차수 pq인 모든 이행적 치환군이 교차 밀도 1을 가져야 하는가?
• RQ2 차수 pq인 비순환 군 중 교차 밀도가 1을 초과하는 군을 구성할 수 있는가?
• RQ3 제한된 하밍 무게를 가진 순환 부호는 치환군 내에서 큰 교차 집합을 구성하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 p와 q에 어떤 조건이 성립할 경우, 교차 밀도가 q인 군의 구성이 가능해지는가?
• RQ5 프로젝티브 소수와 이러한 고밀도 교차 집합의 존재 사이에 어떤 연결 고리가 있는가?

주요 결과

• 논문은 p = (q^k - 1)/(q - 1)인 경우, 차수 pq에서 교차 밀도가 q인 비순환 이행적 치환군의 가닥을 구성한다. 여기서 k ≥ 2이다.
• 이 구성은 [13]의 추측 1.1(iii)를 반박한다. 이 추측은 모든 차수 pq인 이행적 군이 교차 밀도 1을 가져야 한다고 주장한다.
• 구성은 F_q 위의 길이 p인 순환 코드에 기반하며, 모든 비영인 코드어가 하밍 무게가 정확히 p 이하이도록 하여, 해당 군이 큰 교차 집합을 가짐을 보장한다.
• 최소 반례의 경우, [11,5]_3 순환 부호는 차수 33인 이행적 군을 생성하며, 교차 밀도는 3이다.
• p가 프로젝티브 소수일 경우, 즉 p = (q^k - 1)/(q - 1)이지만 q는 소수 거듭제곱이고 k ≥ 2일 경우, 이러한 군의 존재가 보장된다.
• 이 방법은 복합 차수 pq인 이행적 군이라도 교차 밀도가 1을 초과할 수 있음을 확인함으로써, 이전의 가정을 도전한다.