[논문 리뷰] On inverse scattering in electromagnetic field in classical relativistic mechanics at high energies

Alexandre Jollivet|ArXiv.org|2005. 06. 02.

Spectral Theory in Mathematical Physics참고 문헌 16인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 고에너지에서 고전적 상대론적 역학에서 산란 연산자의 속도 성분이 다차원 전자기장에서 스칼라 및 벡터 포텐셜 (V, A)를 유일하게 결정함을 입증한다. 포텐셜이 충분히 빠르게 감쇠할 경우에 한하여 성립한다. 고에너지 渐近 해석과 X선 변환의 역행렬을 이용하여, d ≥ 2일 때 V와 B(장 강도 텐서)가 산란 데이터로부터 유일하게 재구성 가능하다고 증명한다. 반면 d = 2일 경우 구성 성분은 B를 유일하게 결정하지 못하지만, d ≥ 3일 경우는 가능하다.

ABSTRACT

We consider the multidimensional Newton-Einstein equation in static electromagnetic field $$\eqalign{\dot p = F(x,\dot x), F(x,\dot x)=- abla V(x)+{1\over c}B(x)\dot x,\cr p={\dot x \over \sqrt{1-{|\dot x|^2 \over c^2}}}, \dot p={dp\over dt}, \dot x={dx\over dt}, x\in C^1(\R,\R^d),}\eqno{(*)}$$ where $V \in C^2(\R^d,\R),$ $B(x)$ is the $d imes d$ real antisymmetric matrix with elements $B\_{i,k}(x)={\pa\over \pa x\_i}\A\_k(x)-{\pa\over \pa x\_k}\A\_i(x)$, and $|\pa^j\_x\A\_i(x)|+|\pa^j\_x V(x)| \le β\_{|j|}(1+|x|)^{-(α+|j|)}$ for $x\in \R^d,$ $|j| \le 2,$ $i=1..d$ and some $α> 1$. We give estimates and asymptotics for scattering solutions and scattering data for the equation $(*)$ for the case of small angle scattering. We show that at high energies the velocity valued component of the scattering operator uniquely determines the X-ray transforms $P abla V$ and $PB\_{i,k}$ for $i,k=1..d,$ $i eq k.$ Applying results on inversion of the X-ray transform $P$ we obtain that for $d\ge 2$ the velocity valued component of the scattering operator at high energies uniquely determines $(V,B)$. In addition we show that our high energy asymptotics found for the configuration valued component of the scattering operator doesn't determine uniquely $V$ when $d\ge 2$ and $B$ when $d=2$ but that it uniquely determines $B$ when $d\ge 3.$

연구 동기 및 목표

• 고에너지에서 정적 전자기장 내의 상대론적 입자에 대한 역산산란 문제를 조사한다.
• 산란 데이터가 전자기 포텐셜 (V, A)를 유일하게 재구성할 수 있는 조건을 규명한다.
• 산란 해의 고에너지 渐近 해석 및 그 장 성분에 대한 의존성을 분석한다.
• 산란 연산자의 속도 성분으로부터 스칼라 포텐셜 V와 장 강도 텐서 B의 재구성 유일성을 확립한다.
• 특히 저차원에서 B와 V를 결정하는 데 있어 산란 연산자의 구성 성분의 한계를 명확히 한다.

제안 방법

• 상대론적 운동량과 스칼라 및 벡터 포텐셜에 의존하는 힘을 포함한 다차원 뉴턴-아인슈타인 방정식을 수립한다.
• 산란 분석을 위해 충분한 정규성과 적분 가능성을 확보하기 위해 V와 A에 대한 감쇠 조건(α > 1)을 도입한다.
• 퍼티어베이티브 및 적분 방법을 사용하여 산란 해와 산란 데이터의 고에너지 渐近 해석을 유도한다.
• 산란 데이터를 직선을 따라 ∇V와 B_{i,k}의 공간 적분과 연결하는 X선 변환 P에 의존한다.
• 기존의 X선 변환 역행렬 결과를 적용하여 산란 연산자의 속도 성분으로부터 V와 B를 재구성한다.
• 푸리에 분석과 분포 이론을 사용하여 자석장 성분을 다루고 재구성 사상의 단사성을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 d ≥ 2일 때 고에너지에서 산란 연산자의 속도 성분이 스칼라 포텐셜 V를 유일하게 결정할 수 있는가?
• RQ2 d ≥ 3일 때 고에너지 산란 데이터가 전자기장 강도 텐서 B를 유일하게 재구성할 수 있는가?
• RQ3 d = 2일 때 산란 연산자의 구성 성분이 왜 B를 유일하게 결정하지 못하는가?
• RQ4 산란 데이터로부터 ∇V와 B_{i,k}의 X선 변환을 어느 정도 회복할 수 있는가?
• RQ5 V와 A에 대한 감쇠 조건이 산란 문제의 역행성에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 고에너지에서 산란 연산자의 속도 성분은 모든 i, k에 대해 i ≠ k일 때 ∇V와 B_{i,k}의 X선 변환을 유일하게 결정한다.
• d ≥ 2일 경우 산란 연산자의 속도 성분은 X선 변환 P의 역행렬을 통해 V와 B를 모두 유일하게 재구성한다.
• d ≥ 2일 경우 산란 연산자의 구성 성분은 V를 유일하게 결정하지 못한다.
• d = 2일 경우 산란 연산자의 구성 성분은 B를 유일하게 결정하지 못하지만, d ≥ 3일 경우는 유일하게 결정한다.
• B의 재구성에는 X선 자료의 푸리에 변환과 단사성을 보장하기 위한 수평 조건을 사용한다.
• 증명은 정규 분포와 푸리에 변환의 단사성을 이용하여 B_{m,n}이 산란 데이터 w₄(A, θ, x)에 의해 유일하게 결정됨을 보여준다.