[논문 리뷰] On Irregular Linear Quadratic Control: Deterministic Case

Huanshui Zhang, Juanjuan Xu|arXiv (Cornell University)|2017. 11. 25.

Stability and Control of Uncertain Systems참고 문헌 25인용 수 2

한 줄 요약

이 논문은 연속시간 시스템에서 비규칙적인 선형 정합 제어 문제를 다루며, 그레미안 행렬과 특정 행렬을 통해 오픈 루프 해법 가능성을 확립하고, 하위계에서 표준 리카티 방정식을 이용해 피드백 제어기를 유도한다. 주요 기여는 표준 리카티 방정식이 비규칙성으로 인해 적용 불가능해질 경우의 해법 기준과 제어기 설계 방법을 제시하는 것이다.

ABSTRACT

The optimal linear quadratic controller is usually designed based on a Riccati equation. However, when the Riccati is irregular, the problem becomes much more difficult since it is not clear what tools should be applied instead to design the controller. This paper is concerned with the linear quadratic control problem governed by continuous-time system. We firstly show that the solvability of the open-loop control can be fully depicted by a Gramian matrix and a specified matrix. The controller is given via the Gramian matrix and a standard Riccati equation associated with a subsystem. The key to solve the problem is to convert the open-loop solvability into the controllability of a differential equation based on the maximum principle and the solution of a forward and backward differential equation. Moreover, we give the closed-loop solution in the feedback form. The stochastic case will be reported in another paper.

연구 동기 및 목표

• 표준 리카티 방정식이 비규칙하여 적용 불가능한 상황에서 선형 정합 제어 문제를 해결하고자 한다.
• 오픈 루프 제어 문제의 해법 가능성을 그레미안 행렬과 특정 행렬을 통해 기술하고자 한다.
• 하위계에서 표준 리카티 방정식을 이용해 닫힌 루프 피드백 제어기를 도출하고자 한다.
• 최대 원리에 의해 오픈 루프 해법 가능성과 미분방정식의 가용성 간의 연결을 수립하고자 한다.
• 고전적 리카티 접근법이 비규칙한 경우에 실패할 때 이를 우회하는 제어기 설계 프레임워크를 제공하고자 한다.

제안 방법

• 최대 원리를 활용하여 오픈 루프 해법 가능성과 미분방정식 시스템의 가용성 간의 연결을 수립한다.
• 오픈 루프 제어 문제를 해법 분석을 위해 정방향-역방향 미분방정식 시스템으로 변환한다.
• 오픽 루프 제어의 해법 조건을 완전히 기술하기 위해 그레미안 행렬과 특정 행렬을 정의한다.
• 원래 시스템을 표준 리카티 방정식을 풀 수 있는 하위계로 분해한다.
• 그레미안 행렬과 하위계에서의 리카티 방정식 해를 이용해 제어기를 구성한다.
• 그레미안 행렬과 리카티 해를 바탕으로 제어 법칙을 표현함으로써 닫힌 루프 피드백 해를 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 표준 리카티 방정식이 비규칙한 상황에서 오픈 루프 해법 가능성은 어떻게 기술할 수 있는가?
• RQ2 그레미안 행렬과 특정 행렬은 선형 정합 제어 문제의 해법 가능성을 결정하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ3 고전적 리카티 접근법이 실패할 경우 피드백 제어기는 어떻게 구성할 수 있는가?
• RQ4 최대 원리는 오픈 루프 해법 가능성에서 미분방정식의 가용성으로의 전환을 어떻게 촉진하는가?
• RQ5 원래 시스템과 리카티 방정식을 풀기 위해 사용된 하위계 사이의 구조적 관계는 무엇인가?

주요 결과

• 오픈 루프 해법 가능성은 그레미안 행렬과 특정 행렬의 가역성에 의해 완전히 기술되며, 이는 必要 및 충분 조건을 제공한다.
• 제어기는 하위계에서 표준 리카티 방정식의 해와 그레미안 행렬을 이용해 명시적으로 구성되며, 피드백 구현이 가능하다.
• 해법 조건은 최대 원리와 정방향-역방향 미분방정식 시스템의 해를 통해 유도된다.
• 닫힌 루프 해는 피드백 형태로 표현되어 있으며, 원래 리카티 방정식의 비규칙성에도 불구하고 실용적인 구현 가능성을 보장한다.
• 문제를 잘 정의된 하위계로 축소시킴으로써 고전적 리카티 접근법의 실패를 성공적으로 우회한다.
• 표준 리카티 방정식이 비규칙성으로 인해 적용 불가능한 경우에도, 이 프레임워크는 체계적인 제어기 설계 방법을 제공한다.