[논문 리뷰] On isogeny classes of Edwards curves over finite fields

Omran Ahmadi, Robert Granger|arXiv (Cornell University)|2011. 03. 17.

Cryptography and Residue Arithmetic참고 문헌 20인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 홀수 표수를 가진 유한체 위에서 에드워즈 곡선의 이소지 클래스를 완전히 분류한다. 이를 위해 에드워즈 곡선과 레지오드 곡선 사이의 2-이소지아를 수립함으로써, 이소지 클래스의 정확한 수를 계산하고, 모든 이소지 클래스가 완전한 에드워즈 곡선을 포함한다는 것을 증명한다. 주요 결과로는, 군 순서의 약수 조건에 기반한 원래 에드워즈 곡선으로의 이소지 조건과, 각 이소지 클래스 내에서 완전하거나 원래 곡선을 유도하는 매개변수의 비율을 명시한 공식이 포함되어 있다.

ABSTRACT

We count the number of isogeny classes of Edwards curves over finite fields, answering a question recently posed by Rezaeian and Shparlinski. We also show that each isogeny class contains a {\em complete} Edwards curve, and that an Edwards curve is isogenous to an {\em original} Edwards curve over $\F_q$ if and only if its group order is divisible by 8 if $q \equiv -1 \pmod{4}$, and 16 if $q \equiv 1 \pmod{4}$. Furthermore, we give formulae for the proportion of $d \in \F_q \setminus \{0,1\}$ for which the Edwards curve $E_d$ is complete or original, relative to the total number of $d$ in each isogeny class.

연구 동기 및 목표

• 유한체 위에서 에드워즈 곡선의 이소지 클래스를 세는 최근의 미해결 문제를 해결하기 위해.
• 유한체 $\mathbb{F}_q$ 위에서 에드워즈 곡선이 원래 에드워즈 곡선으로 이소지일 조건을 규명하기 위해.
• 각 이소지 클래스 내에서 매개변수 $d \in \mathbb{F}_q \setminus \{0,1\}$ 중에서 완전하거나 원래 에드워즈 곡선을 유도하는 비율을 계산하기 위해.
• 이소지 클래스 수를 세기 위해 에드워즈 곡선과 레지오드 곡선 사이의 명시적 2-이소지아를 통해 구조적 연결을 수립하기 위해.

제안 방법

• 에드워즈 곡선 $E_d$와 레지오드 곡선 $L_d$ 사이의 2-이소지아를 $\mathbb{F}_q$ 위에서 수립하고, 문자합 항등식과 테이트 정리를 활용한다.
• 카츠의 최근 레지오드 곡선 이소지 클래스 분류를 활용하여 에드워즈 곡선의 이소지 클래스 수를 유도한다.
• 데우링 스타일의 클래스 수 공식을 적용하여 각 이소지 클래스당 완전한 에드워즈 곡선 매개변수 $d$의 수를 계산한다.
• 다양한 곡선 유형(예: 완전, 원래)의 매개변수 집합 간에 명시적 전단사 사상을 구성하여 비율 공식을 도출한다.
• 유한체 $\mathbb{F}_q$ 내의 제곱 특성에 따라 $E_d$가 $E_{1-d}, E_{1/d}, E_{1-1/d}, E_{d/(d-1)}$와 4-이소지임을 이용한다.
• 허프 곡선과 에드워즈 곡선 사이의 알려진 이sovomorphism을 활용하여 결과를 관련 곡선 가족으로 확장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 홀수 표수를 가진 유한체 $\mathbb{F}_q$ 위에서 에드워즈 곡선의 이소지 클래스는 총 몇 개인가?
• RQ2 에드워즈 곡선이 유한체 $\mathbb{F}_q$ 위에서 원래 에드워즈 곡선으로 이소지일 조건은 무엇인가?
• RQ3 주어진 이소지 클래스 내에서 매개변수 $d \in \mathbb{F}_q \setminus \{0,1\}$ 중에서 완전한 에드워즈 곡선을 유도하는 비율은 얼마인가?
• RQ4 원래 에드워즈 곡선을 유도하는 매개변수의 비율은 얼마이며, 이는 $q \mod 4$ 에 따라 어떻게 달라지는가?
• RQ5 에드워즈 곡선의 이소지 곡선의 구조는 레지오드 곡선과의 연결을 통해 완전히 특징지을 수 있는가?

주요 결과

• 에드워즈 곡선의 이소지 클래스 수는 카츠의 결과에 의해 완전히 분류된 레지오드 곡선의 이소지 클래스 구조에 의해 결정된다.
• 에드워즈 곡선의 모든 이소지 클래스는 적어도 하나의 완전한 에드워즈 곡선을 포함하며, 각 이소지 클래스당 그러한 $d$ 값의 수는 데우링 스타일의 클래스 수 공식을 통해 계산할 수 있다.
• 유한체 $\mathbb{F}_q$ 위에서 에드워즈 곡선 $E_d$가 원래 에드워즈 곡선으로 이소지일 조건은 $q \equiv -1 \pmod{4}$ 일 때 그 군 순서가 8으로 나누어지고, $q \equiv 1 \pmod{4}$ 일 때는 16으로 나누어지는 것이다.
• $q \equiv -1 \pmod{4}$ 일 경우, 완전한 에드워즈 곡선을 유도하는 $d$의 비율은 원래 곡선의 경우와 동일한 공식에 의해 결정된다. $q \equiv 1 \pmod{4}$ 일 경우, 비율은 카츠의 비율 정리에 의해 유도된다.
• $\mathbb{F}_q$ 위에서 $E_d$가 완전한 에드워즈 곡선이 되는 매개변수 $d \in \mathbb{F}_q \setminus \{0,1\}$의 비율은 데우링 공식과 레지오드 곡선으로의 2-이소지아를 활용하여 각 이소지 클래스에서 명시적으로 계산할 수 있다.
• 이 논문은 $q \equiv 1 \pmod{4}$ 일 경우 $E_d$와 $E_{1-d}$가 $\mathbb{F}_q$ 위에서 4-이소지임을 증명하며, 일반적으로 $-1$, $d$, $1-d$의 제곱 특성에 따라 $E_d$는 다섯 개의 다른 에드워즈 곡선과 4-이소지임을 밝힌다.