[논문 리뷰] On Isolated Singularities of Fractional Semi-Linear Elliptic Equations

Hui Yang, Wenming Zou|arXiv (Cornell University)|2018. 04. 03.

Nonlinear Partial Differential Equations인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 원점에서 고립된 특이성을 가진 비음수 해에 대해 분수 차수의 반선형 타원형 방정식 $(-Δ)^\sigma u = u^p$ 의 국소적 행동을 조사한다. 여기서 $\sigma \in (0,1)$ 이고 $\frac{n}{n-2\sigma} < p < \frac{n+2\sigma}{n-2\sigma}$ 이다. Caffarelli-Silvestre 확장과 블로업 방법, 그리고 Liouville 유형 정리의 조합을 통해 저자들은 날카운 상한을 확립하고, 특이성이 제거 가능하거나 해가 원점 근처에서 $|x|^{-2\sigma/(p-1)}$ 와 유사하게 행동함을 증명한다. 이는 라플라스 연산자 ($\sigma=1$) 의 고전적 결과를 일반화한다.

ABSTRACT

In this paper, we study the local behavior of nonnegative solutions of fractional semi-linear equations $(-Δ)^σu = u^p$ with an isolated singularity, where $\sg \in (0, 1)$ and $\frac{n}{n-2\sg} &lt; p &lt; \frac{n+2\sg}{n-2\sg}$. We first use blow up method and a Liouville type theorem to derive an upper bound. Then we establish a monotonicity formula and a sufficient condition for removable singularity to give a classification of the isolated singularities. When $\sg=1$, this classification result has been proved by Gidas and Spruck (Comm. Pure Appl. Math. 34: 525-598, 1981).

연구 동기 및 목표

• 비음수 해 $(-\Delta)^\sigma u = u^p$ 에 대한 고립된 특이성을 $B_1 \setminus \{0\}$ 에서 분류하는 것. 여기서 $\sigma \in (0,1)$ 이고 $p$ 는 하위임계 범위에 있다.
• Gidas와 Spruck (1981) 의 고전적 분류 결과를 라플라스 연산자 ($\sigma=1$) 의 경우에서 분수 차수 라플라스 연산자 경우로 확장하는 것.
• 확장 방법과 단조성 공식을 사용하여 특이해의 원점 근처에서의 붕괴 속도에 대한 날카운 점별 추정을 수립하는 것.
• 특이성이 제거 가능하다는 것(즉, $u$ 가 원점으로 연속적으로 연장된다) 또는 $u(x) \sim |x|^{-2\sigma/(p-1)}$ 라는 것을 증명하는 것. $x \to 0$ 일 때.
• 분수 설정에서 Pohozaev 항등식이 존재하지 않는 문제를 해결하기 위해 적절한 장벽 함수를 구성하고, 정교하게 선택된 컷오프 함수로 테스트하는 것.

제안 방법

• 분수 방정식 $(-\Delta)^\sigma u = u^p$ 를 $\mathbb{R}^n \setminus \{0\}$ 에서 상반평면 $\mathbb{R}^{n+1}_+$ 에서의 탈선 타입 타원형 문제로 변환하기 위해 Caffarelli-Silvestre 확장을 적용한다.
• 블로업 방법과 Liouville 유형 정리를 사용하여 $u(x) \leq c |x|^{-2\sigma/(p-1)}$ 형태의 상한을 유도한다.
• 장벽 함수 $\Phi = |X|^{-\tau} - \delta t^{2\sigma} |X|^{-(\tau+2\sigma)}$ 를 구성한다. 여기서 $\tau = \frac{n-2\sigma}{p-1}(p - \frac{n}{n-2\sigma})$ 이다. 이를 통해 원점 근처에서 해의 행동을 테스트한다.
• 가중된 발산 정리와 해 $U$ 를 컷오프 함수 $\zeta$ 와 함께 장벽 $\zeta \Phi$ 로 나누어 적분 추정을 유도한다.
• 확장된 공간에서 $U$ 의 성장률을 제어하기 위해 Harnack 부등식을 적용하고, $\epsilon$ 에 독립적인 균일한 상한을 유도한다.
• 가정 $\liminf_{x \to 0} |x|^{2\sigma/(p-1)} u(x) = 0$ 하에서 $u^{p-1}$ 이 $|x| \to 0$ 일 때 붕괴하는 것을 활용하여 적분 가능성과 특이성 제거를 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 분수 차수 $\sigma \in (0,1)$ 과 $\frac{n}{n-2\sigma} < p < \frac{n+2\sigma}{n-2\sigma}$ 에 대해, 원점에서 고립된 특이성을 가진 비음수 해 $(-\Delta)^\sigma u = u^p$ 의 정확한 점근적 행동은 무엇인가?
• RQ2 고립된 특이성이 언제 제거 가능한가? 즉, 해가 원점으로 연속적으로 연장될 수 있는 조건은 무엇인가?
• RQ3 특이성이 비제거 가능할 경우, 해는 원점 근처에서 어떻게 붕괴하는가?
• RQ4 Gidas와 Spruck 가 $\sigma=1$ 에 대해 유도한 고전적 분류 결과는 분수 차수의 경우 $\sigma \in (0,1)$ 로 어떻게 일반화할 수 있는가?
• RQ5 분수 설정에서 Pohozaev 항등식이 존재하지 않는 문제를 어떻게 해결하여 점별 추정을 도출할 수 있는가?

주요 결과

• 해 $u(x)$ 는 원점 근처에서 어떤 $c_2 > 0$ 에 대해 상한 $u(x) \leq c_2 |x|^{-2\sigma/(p-1)}$ 을 만족한다.
• 특이성이 비제거 가능할 경우, $u(x)$ 는 어떤 $c_1 > 0$ 에 대해 날카운 하한 $c_1 |x|^{-2\sigma/(p-1)} \leq u(x)$ 를 만족하므로, $x \to 0$ 일 때 $u(x) \sim |x|^{-2\sigma/(p-1)}$ 이다.
• 확장된 해 $U(X)$ 는 Harnack 부등식에 의해 원점 근처에서 $C_1 |X|^{-2\sigma/(p-1)} \leq U(X) \leq C_2 |X|^{-2\sigma/(p-1)}$ 를 만족한다.
• 만약 $\liminf_{x \to 0} |x|^{2\sigma/(p-1)} u(x) = 0$ 이면, 특이성은 제거 가능하다. 즉, $u$ 는 원점으로 연속적으로 연장된다.
• 증명은 장벽 함수 $\Phi$ 를 구성하고 컷오프 함수 $\zeta$ 와 함께 테스트하는 데 의존하며, 이는 $u |x|^{-(n - 2\sigma/(p-1))}$ 에 대한 균일한 $L^1$ 상한을 이끌어내고, 이는 적분 가능성과 특이성 제거를 의미한다.
• 결과는 Gidas와 Spruck (1981) 의 고전적 $\sigma=1$ 경우를 분수 설정으로 일반화하여, 하위임계 범위에 대해 고립된 특이성의 완전한 분류를 확립한다.