[논문 리뷰] On joint estimates for maximal functions and singular integrals in weighted spaces

María Carmen Reguera, James Scurry|arXiv (Cornell University)|2011. 09. 09.

Advanced Harmonic Analysis Research참고 문헌 12인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 Muckenhoupt-Wheeden 추측에 대한 명시적 반례를 구성하여, $L^p(w)$에서 하드리-리틀우드 최대연산자가 유계이지만 힐버트 변환이 유계가 아닌 가중치를 제시함으로써, 이러한 연산자가 $A_p$ 클래스 내에서는 동치임에도 불구하고 이를 초월할 수 있음을 보여준다. 저자들은 유계성의 부재를 악용하여 최대함수와 특수적 적분의 유계성 간의 분리가 가능해지는, 비이중성이고 컴act 지지된, 양의 측도를 가진 집합에서 0이 되는 가중치를 사용한다.

ABSTRACT

We consider a conjecture attributed to Muckenhoupt and Wheeden which suggests a positive relationship between the continuity of the Hardy-Littlewood maximal operator and the Hilbert transform in the weighted setting. Although continuity of the two operators is equivalent for $A_p$ weights with $1 < p < \infty$, through examples we illustrate this is not the case in more general contexts. In particular, we study weights for which the maximal operator is bounded on the corresponding $L^p$ spaces while the Hilbert transform is not. We focus on weights which take the value zero on sets of non-zero measure and exploit this lack of strict positivity in our constructions. These type of weights and techniques have been explored previously in Reguera \cite{1008.3943} and Reguera-Thiele \cite{1011.1767}.

연구 동기 및 목표

• 두 가중치 설정에서 하드리-리틀우드 최대연산자와 힐버트 변환의 유계성 간에 깊은 관계가 있다는 Muckenhoupt와 Wheeden의 추측을 반증하기 위해.
• 특히 $A_p$ 클래스 외부에서 최대연산자의 유계성이 힐버트 변환의 유계성을 함의하지 않는다는 것을 보여주기 위해.
• 비이중성, 컴팩트 지지, 양의 측도 집합에서 0이 되는 특성을 가진 명시적 가중치 예를 구성하여, 최대연산자는 유계이지만 힐버트 변환은 유계가 아닌 경우를 보여주기 위해.
• 이전의 딱타이드 연산자 및 $L^1$ 경계 추정에 대한 반례를 전체 Calderón-Zygmund 설정과 $1 < p < \infty$의 $L^p$ 공간으로 확장하기 위해.
• Muckenhoupt-Wheeden 추측의 필수 방향이 일반적으로 성립하지 않음을 보여주어, 두 가중치 설정에서 두 연산자 간의 사전 관계가 존재하지 않음을 시사하기 위해.

제안 방법

• 비이중성, 컴팩트 지지, 양의 측도 집합에서 0이 되는 가중치를 사용하여, $M: L^p(u) \to L^p(u)$는 유계이지만 $H: L^p(u) \to L^p(u)$는 비유계인 가중치 $u$를 구성한다.
• Reguera [1008.3943]와 Reguera-Thiele [1011.1767]의 프레임워크를 사용하여, 비-$A_p$ 가중치에서 특수적 적분의 캔슬레이션 성질을 피할 수 있음을 보였다.
• 최대연산자 $M$의 $L^p(v) \to L^p(w)$ 및 $L^{p'}(w^{1-p'}) \to L^{p'}(w/(Mw)^{p'})$에서의 동시 유계성을 테스트하기 위해 $v = \left(\frac{Mw}{w}\right)^p w$를 정의하고, $H$가 $L^p(v) \to L^p(w)$에서 유계가 아니라는 것을 보여준다.
• Nazarov 등이 보여준 바와 같이, $A_1$ 가중치에서 약한 유계성 추정식 (1.13)의 실패를 활용하여, 예상되는 약한 유계성 제어가 실패하는 반례를 구성한다.
• 두 가중치 이론의 기법, 특히 코로나 분해와 테스팅 조건을 적용하여 Muckenhoupt-Wheeden 추측의 실패를 분석한다.
• 특히 $A_p$ 가중치는 거의 모든 곳에서 양수이므로, 이를 위반하는 가중치를 구성함으로써 최대함수와 특수적 적분의 유계성 간의 동치성의 붕괴를 이끈다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 두 가중치 설정에서 $L^p(w)$에서 하드리-리틀우드 최대연산자가 유계일 경우, 힐버트 변환이 $L^p(w)$에서 유계가 되는가? 이는 $A_p$ 클래스 외부에서 성립하는가?
• RQ2 최대연산자가 $L^p(w)$에서 유계이지만 힐버트 변환이 유계가 아닌 가중치 $w$를 구성할 수 있는가? 특히 $w$가 $A_p$에 속하지 않을 경우에도 성립하는가?
• RQ3 일반적인 가중치에 대해 Muckenhoupt-Wheeden 추측은 두 가중치 설정에서 성립하는가? 아니면 최대연산자는 유계이지만 특수적 적분은 유계가 아닌 반례가 존재하는가?
• RQ4 특수적 적분과 최대함수의 유계성 간의 동치성에 기여하는 $A_p$ 가중치의 엄밀한 양수성은 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 $A_1$ 가중치에서 힐버트 변환의 약한 유계성 추정의 실패를 활용하여, $1 < p < \infty$의 $L^p$ 공간에서 강한 유계성 반례를 구성할 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 임의의 $1 < p < \infty$에 대해 $M: L^p(u) \to L^p(u)$는 유계이지만 $H: L^p(u) \to L^p(u)$는 비유계인 비자명한 가중치 $u$를 구성한다.
• 가중치 $w$와 $v = \left(\frac{Mw}{w}\right)^p w$에 대해, 최대연산자는 $M: L^p(v) \to L^p(w)$ 및 $M: L^{p'}(w^{1-p'}) \to L^{p'}(w/(Mw)^{p'})$에서 모두 유계이지만, $H: L^p(v) \to L^p(w)$는 비유계이다.
• 최대연산자가 $L^2(\gamma)$에서 $L^2(\lambda)$로 유계가 아니지만 힐버트 변환이 $L^2(\gamma)$에서 $L^2(\lambda)$로 유계인 예가 제시되어, Muckenhoupt-Wheeden 추측의 필수 방향이 실패함을 보여준다.
• 구성된 가중치는 어떤 $A_p$ 클래스에도 속하지 않으며, 컴팩트 지지이며 이중성 조건을 위반하여 표준 $A_p$ 가중치와 구별된다.
• 반례는 양의 측도 집합에서 0이 되는 가중치에 의존하여, $A_p$ 경우에서의 동치성에 기여하는 캔슬레이션 메커니즘이 붕괴됨을 악용한다.
• 결과적으로 두 가중치 설정에서 최대연산자의 유계성과 힐버트 변환의 유계성 간에 사전 관계가 존재하지 않음을 보여주며, 최대연산자가 유계일지라도 두 연산자 간의 관계는 보장되지 않는다.