[논문 리뷰] On Kolmogorov entropy compactness estimates for scalar conservation laws without uniform convexity

Fabio Ancona, Olivier Glass외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 06. 20.

Navier-Stokes equation solutions참고 문헌 14인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 엔트로피 약한 해에 대한 스칼라 보존법칙의 정량적 컴팩트니스 추정을 비균일하게 볼록인 플럭스 함수로 확장한다. 이는 엄격히 볼록인 경우와 단일 변곡점이 있는 경우를 포함한다. 플럭스 도함수의 유계성과 엔트로피 기법을 활용하여 L¹_loc에서 해 집합의 콜모고로프 ε-엔트로피에 대해 최적의 상한과 하한을 도출한다. 이로써 컴팩트니스 척도는 균일하게 볼록인 경우의 1/ε가 아닌 f′(ε)에 의해 결정됨을 보여준다.

ABSTRACT

In the case of scalar conservation laws $$ u_{t} + f(u)_{x}~=~0,\\qquad t\\geq 0, x\\in\\mathbb{R}, $$ with uniformly strictly convex flux $f$, quantitative compactness estimates - in terms of Kolmogorov entropy in ${\\bf L}^{1}_{loc}$ - were established in~\\cite{DLG,AON1} for sets of entropy weak solutions evaluated at a fixed time $t>0$, whose initial data have a uniformly bounded support and vary in a bounded subset of ${\\bf L}^\\infty$. These estimates reflect the irreversibility features of entropy weak discontinuous solutions of these nonlinear equations. We provide here an extension of such estimates to the case of scalar conservation laws with a smooth flux function $f$ that either is strictly (but not necessarily uniformly) convex or has a single inflection point with a polynomial degeneracy.

연구 동기 및 목표

• 균일하게 볼록적이지 않은 엄격히 볼록인 플럭스 함수 또는 다항형으로 기울어지는 단일 변곡점이 있는 플럭스 함수를 가진 스칼라 보존법칙에 대해 콜모고로프 ε-엔트로피 기반 정량적 컴팩트니스 추정을 확장하는 것.
• 균일한 볼록성이 없을 경우 고전적인 올레인크 부등식이 실패하고 해가 무한한 변동성을 가질 수 있기 때문에, 균일한 BV 유계성의 부재를 다루는 것.
• 유계된 초기 자료 집합(콤���트 지지)에 대해 해의 반군 S_t(𝒞)의 ε-엔트로피에 대해 날카로운 상한과 하한을 설정하는 것.
• 컴팩트니스 척도가 균일하게 볼록인 경우의 1/ε가 아니라 f′(ε)에 의해 결정됨을 보여주는 것. 이는 임계점 근처에서 플럭스의 기울어짐을 반영한다.
• 이전의 균일하게 엄격히 볼록인 플럭스에 대한 결과를 더 넓은 범위의 매끄러운 플럭스 함수로 일반화하며, 변곡점에서 제어 가능한 비평탄성 조건을 갖는다.

제안 방법

• f′∘u의 양의 변동성을 사용하여, f가 균일하게 볼록적이지 않더라도 양의 시간에서 해의 총 변동성을 제어하는 것.
• f의 유계성과 매끄러움을 활용하여 {f′∘u | u ∈ 𝒞} 집합의 ε′-커버를 구성하며, 그 개수는 약 2^{a/ε′}이다.
• ε′ = f′(ε)인 변환을 통해 ε′-커버를 해 집합 S_t(𝒞)의 ε-커버로 매핑하여 크기가 약 2^{(a+1)/ε′}인 커버를 얻는 것.
• 엔트로피 수 이론과 메트릭 엔트로피 추정을 적용하여 L¹_loc에서 해 집합의 콜모고로프 ε-엔트로피를 유계하는 것.
• f′∘u의 유계된 양의 변동성을 바탕으로 해 집합이 BV 공간에 통합됨을 이용하며, [6, 8, 13]의 결과에 의존한다.
• 충격층의 구조와 플럭스의 볼록성/볼록성 변화를 활용하여 조각별 상수 함수의 모델 집합과 비교함으로써 하한을 도출하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비균일하게 볼록인 플럭스 함수를 가진 스칼라 보존법칙에서 해의 반군 S_t는 어떻게 컴팩트해지는가?
• RQ2 f가 엄격히 볼록이지만 균일하게 그렇지 않은 경우, 유계된 초기 자료 집합의 S_t에 의한 영상에 대해 콜모고로프 ε-엔트로피의 최적 척도는 무엇인가?
• RQ3 단일 변곡점과 다항형 기울어짐이 있는 플럭스 함수로도 엔트로피 컴팩트니스 추정을 확장할 수 있는가?
• RQ4 ε-엔트로피는 플럭스의 임계점 근처에서 f′(ε)의 국소적 행동에 어떻게 의존하는가?
• RQ5 ε-엔트로피의 상한이 최적이며, 비균일하게 볼록인 경우에 대응하는 하한을 확립할 수 있는가?

주요 결과

• f′′(u) ≥ c|u|^{m-1} 인 영역에서 엄격히 볼록인 플럭스에 대해, S_t(𝒞)의 ε-엔트로피는 상하한 모두 f′(ε)에 비례하는 상수배로 유계되며, m ≥ 2일 때 f′(ε) ~ ε^{m-1}이다.
• f^{(m+1)}(0) ≠ 0인 단일 변곡점이 있는 경우, ε-엔트로피는 1/ε^m 비례로 척도가 결정되며, 이는 플럭스의 기울어짐 정도를 반영한다.
• ε-엔트로피의 상한은 1/f′(ε)의 순서이며, 이는 균일하게 볼록인 경우의 1/ε 척도를 일반화한 것이다.
• 하한은 상한과 순서가 일치하므로, 비균일하게 볼록인 설정에서 엔트로피 추정의 최적성은 입증된다.
• 결과는 해의 반군 S_t의 컴팩트니스가 균일한 볼록성보다는 u=0 근처에서 f′(u)의 국소적 비기울어짐에 의해 결정됨을 확인한다.
• 분석은 플럭스가 균일하게 볼록적이지 않더라도 변곡점에서 비평탄성 조건이 유지되면 엔트로피 컴팩트니스 추정이 여전히 날카로운 임을 입증한다.