[논문 리뷰] On Kurepa's problems in number Theory

Aleksandar Ivić, Žarko Mijajlović|arXiv (Cornell University)|2003. 12. 10.

Analytic Number Theory Research참고 문헌 5인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 두로 쿠레파의 미해결 수론 문제를 조사하며, 홀수 소수 p가 0!에서 (p−1)!까지의 팩토리얼 합을 나누지 않는다는 왼쪽 팩토리얼 가설에 초점을 맞추고, 유한체에서의 동치 표현을 제시한다. 이는 소수 분포, 쌍둥이 소수, 산술급수와의 연결을 포함하며, n = 1,000,000까지의 계산적 검증을 통해 보다 광범위한 추측과 연관지운다.

ABSTRACT

We discuss some problems in number theory posed by Djuro Kurepa (1907-1993), including his classical left factorial hypothesis that an odd prime $p$ does not divide $0! + 1! + ... + (p-1)!$.

연구 동기 및 목표

• 두로 쿠레파가 제기한 덜 알려진 수론 문제, 특히 왼쪽 팩토리얼 가설을 검토하고 분석하는 것.
• 특히 이항계수와 팩토리얼을 포함한 합의 형태로, 유한체 GF(p)에서 왼쪽 팩토리얼 가설의 동치 표현을 수립하는 것.
• 쿠레파의 두 번째 및 세 번째 문제에 기반한 소수의 제곱과 그 주변 소수를 포함하는 수열의 부호 행동을 조사하는 것.
• 쿠레파 문제와 관련된 산술급수 내에서 소수 삼중항과 일원 집합의 무한성 문제를 탐구하는 것.
• 쿠레파의 추측을 쌍둥이 소수 추측과 배테만-혼 추측과 같은 주요 미해결 문제들과 연결하는 것.

제안 방법

• 모든 n > 2에 대해 !n ≢ 0 (mod n)로 왼쪽 팩토리얼 가설을 정의하고, 모든 홀수 소수 p에 대해 (p, !p) = 1이 되는 조건과의 동치성을 증명하였다.
• (-1)^k / k!과 이항계수를 포함하는 항등식을 사용하여 GF(p)에서 동치 문장을 유도하였으며, 가설이 성립하는 것은 특정 합이 p를 모듈로로 나누었을 때 0이 되지 않는 것과 동치임을 보였다.
• 슬라비치, 워그스타프, 미야요비치, 고지치의 계산적 검증을 통해 모든 n < 1,000,000에 대해 가설을 확인하였다.
• 베르트랑의 보조정리와 소수 정리의 응용을 통해 소수 수열의 점근적 행동을 분석하고, p_n²와 이전 소수의 합을 포함하는 부등식을 유도하였다.
• s_n = p_n² − p_{n−1} − p_{n+1}의 부호가 소수 정리와 알려진 소수 간격의 상한과 연결됨을 보였다.
• π_n = p_n² − p_{n−1}p_{n+1}의 부호가 양호한 소수의 존재와 쌍둥이 소수의 존재와 관련이 있으며, 포머런스의 결과를 활용해 무한히 많은 양호한 소수가 존재함을 증명하였다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 홀수 소수 p에 대해, 0!에서 (p−1)!까지의 팩토리얼 합이 p로 나누어떨어지지 않는가?
• RQ2 왼쪽 팩토리얼 가설은 유한체 GF(p)에서의 비영인 합의 형태로 동치로 재구성할 수 있는가?
• RQ3 p_n² > p_{n−1} + p_{n+1}를 만족하는 소수 p가 무한히 많은가?
• RQ4 쌍둥이 소수 추측이 참이라면, π_n = p_n² − p_{n−1}p_{n+1}가 무한히 많은 n에 대해 음수인가?
• RQ5 p_n ≡ 1 (mod 3)인 무한히 많은 n이 존재하는가? 이때 P(n)은 x−2n, x, x+2n가 모두 소수인 소수 x의 집합이며, 이 집합이 일원 집합인가?

주요 결과

• 왼쪽 팩토리얼 가설은 모든 홀수 소수 p에 대해 ∑_{k=0}^{p−1} (−1)^k (k+1)(k+2)⋯(p−1) ≢ 0 (mod p)임과 동치이다.
• 가설은 모든 n < 1,000,000에 대해 계산적으로 검증되었으며, 고지치가 n = 10^6까지 확인하였다.
• 왼쪽 팩토리얼 가설은 모든 소수 p에 대해 ∑_{k=0}^{p−1} binom{p−1}{k} (k+1)⋯(p−1) ≢ 0 (mod p)임과 동치이다.
• 베르트랑의 보조정리를 사용하여, p_n ≥ 5이면 s_n = p_n² − p_{n−1} − p_{n+1}가 항상 양수임을 보였다.
• 쌍둥이 소수 추측이 참이라면, p_n² − p_{n−1}p_{n+1} ≤ −2p_{n−1} + 4 < 0 이므로 π_n = p_n² − p_{n−1}p_{n+1}가 무한히 많은 n에 대해 음수임을 알 수 있다.
• 배테만-혼 추측은 p_n ≡ 1 (mod 3)인 무한히 많은 n이 존재하며, 이때 P(n)이 일원 집합임을 의미한다. 즉, 어떤 x에 대해 x−2n, x, x+2n가 모두 소수이다.