[논문 리뷰] On $L^1$-estimates for probability solutions to Fokker-Planck-Kolmogorov equations

В. И. Богачев, S. N. Popova외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 03. 12.

Advanced Mathematical Physics Problems참고 문헌 19인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 Fokker-Planck-Kolmogorov 방정식의 확률 밀도 해가 이방성에 대해 적분 가능한 드리프트를 가질 때, 그 해가 Sobolev 공간 $W^{1,1}$에 속할 필요가 없다는 것을 입증함으로써 오랫동안 남아있던 열린 문제를 해결한다. 또한 이러한 밀도들이 특정 분수 Sobolev 공간에 속한다는 것을 보이며, 고전적 $W^{1,1}$-유계성의 실패에도 불구하고 $L^1$-유형의 정규성 추정이 성립함을 보여준다.

ABSTRACT

We prove two new results connected with elliptic Fokker-Planck-Kolmogorov equations with drifts integrable with respect to solutions. The first result answers negatively a long-standing question and shows that a density of a probability measure satisfying the Fokker-Planck-Kolmogorov equation with a drift integrable with respect to this density can fail to belong to the Sobolev class~$W^{1,1}(\mathbb{R}^d)$. There is also a version of this result for densities with respect to Gaussian measures. The second new result gives some positive information about properties of such solutions: the solution density is proved to belong to certain fractional Sobolev classes.

연구 동기 및 목표

• L^1-드리프트를 가진 Fokker-Planck-Kolmogorov 방정식의 확률 해가 반드시 $W^{1,1}$에 속해야 하는지 여부에 관한 오랫동안 남아있던 열린 문제를 해결하기 위해.
• 드리프트에 대한 최소한의 적분 가능 조건 하에서 Fokker-Planck-Kolmogorov 방정식의 밀도의 정규성에 대해 연구하기 위해.
• 해가 분수 Sobolev 공간에 속한다는 것을 보여줌으로써, 이러한 밀도에 대한 긍정적인 $L^1$-유형 추정을 수립하기 위해.
• Fokker-Planck-Kolmogorov 방정식의 맥락에서 두 번째 순서 타원형 연산자에 대한 고전적 $L^p$-추정이 $p=1$인 경우에 어떻게 제한되는지 명확히 하기 위해.

제안 방법

• R^2에서 매끄러운 확률 밀도 $\varrho_n$과 드리프트 $b_n$을 사용하여 명시적 반례를 구성함으로써, $\|\nabla \varrho_n\|_{L^1} \geq n \|b_n\|_{L^1(\varrho_n)}$임을 보여, $W^{1,1}$-정규성의 실패를 입증함.
• Ornstein의 예에서 영감을 얻은 스케일링 추론을 기반으로 한 폐쇄 그래프 정리의 응용을 통해, $\|f\|_{\infty}$, $\|\nabla f\|_{\infty}$, $\|\Delta f\|_1$에 대한 $\partial_x^2 f$에 대한 균일한 $L^1$-유계성이 존재하지 않음을 증명함.
• 분포 도함수와 함수해석학적 도구를 적용하여 약한 Sobolev 공간 및 분수 Sobolev 공간에서의 해의 정규성 분석함.
• 드리프트가 $L^2$로 적분 가능할 경우 $\nabla \varrho / \varrho$가 $L^2(\varrho dx)$에 속한다는 것을 보이고, 이를 $L^1$-드리프트의 경우 분수 Sobolev 정규성으로 확장함.
• 분포의 의미에서 Fokker-Planck-Kolmogorov 방정식 $\Delta \varrho - \mathrm{div}(\varrho b) = 0$의 구조를 활용하여 $\varrho$의 기울기 상한을 도출함.
• $L^1$-드리프트에 대해 $\varrho \in W^{1,1}_{\text{loc}}$가 성립하지 않지만, 컴팩턴스와 분포 추정을 통해 여전히 분수 Sobolev 정규성을 확보할 수 있음을 활용함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 확률 밀도 해가 $\int |b| \, d\mu < \infty$를 만족하는 드리프트 $b$를 가진 Fokker-Planck-Kolmogorov 방정식을 만족할 때, $W^{1,1}(\mathbb{R}^d)$에 속하지 않을 수 있는가?
• RQ2 이러한 해에 대해 $\|b\|_{L^1(\varrho dx)}$에 대한 $\|\nabla \varrho\|_{L^1}$에 대한 균일한 $L^1$-추정이 존재하는가?
• RQ3 $L^1$-드리프트를 가진 해가 $W^{1,1}$-유계성의 실패에도 불구하고 약한 또는 분수 Sobolev 정규성을 갖는가?
• RQ4 두 번째 순서 타원형 연산자에 대한 $L^1$-추정의 실패가 확률 측도를 가진 Fokker-Planck-Kolmogorov 방정식의 맥락에서 실현될 수 있는가?
• RQ5 $L^2$-경우와 유사한 차원에 관계없이 $L^1$-유형의 정규성 추정이 $\nabla \varrho / \varrho$의 로그 도함수에 대해 존재하는가?

주요 결과

• R^2 위에 존재하는 매끄러운 확률 밀도 $\varrho$와 매끄러운 드리프트 $b$가 존재하여 $|b|\varrho \in L^1(\mathbb{R}^2)$이지만 $|\nabla \varrho| \notin L^1(\mathbb{R}^2)$임을 보여, $\varrho \notin W^{1,1}(\mathbb{R}^2)$임을 입증함으로써 오랫동안 남아있던 질문에 부정적인 답변을 제공함.
• 모든 $n$에 대해, R^2 위에 존재하는 매끄러운 확률 밀도 $\varrho_n$과 드리프트 $b_n$의 수열이 존재하여 $\|\nabla \varrho_n\|_{L^1} \geq n \|b_n\|_{L^1(\varrho_n)}$임을 보여, 기울기의 $L^1$-유계성이 존재하지 않음을 입증함.
• $L^1$-드리프트를 가진 Fokker-Planck-Kolmogorov 방정식의 해 밀도 $\varrho$는 특정 분수 Sobolev 공간에 속함을 보여, $W^{1,1}$-실패에도 불구하고 부분적인 정규성을 나타냄.
• 두 번째 순서 타원형 연산자에 대한 $L^1$-추정의 실패는 Fokker-Planck-Kolmogorov 설정으로까지 확장되며, 이는 두 번째 도함수에 대한 균일한 $L^1$-유계성에 대한 반례를 통해 입증됨.
• 고전적 $L^2$-추정 $\|\nabla \varrho / \varrho\|_{L^2(\varrho dx)} \leq \|b\|_{L^2(\varrho dx)}$는 $p=1$로 확장되지 않으며, 그러한 $L^1$-유계성이 존재하지 않음.
• 폐쇄 그래프 정리와 Ornstein의 예에서 영감을 얻은 스케일링 추론을 활용하여, $\|f\|_{\infty}$, $\|\nabla f\|_{\infty}$, $\|\Delta f\|_1$에 대한 $\partial_x^2 f$에 대한 $L^1$-추정이 존재하지 않음을 증명함으로써, 주요 반례의 기초를 마련함.