[논문 리뷰] On L-embeddings and double covers of tori over local fields

Tasho Kaletha|arXiv (Cornell University)|2019. 07. 11.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 11인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 국소체 $F$ 상의 토르스 $T$의 $F$-유리점에 대한 표준 이중 쌍반사 $T(F)_{\pm}$와 그에 상응하는 표준 $L$-군 ${}^{L}T_{\pm}$를 도입하며, ${}^{L}T_{\pm}$에 값이 있는 $L$-매개변수와 $T(F)_{\pm}$의 진정한 특성 사이의 자연스러운 전단사 사상 수립한다. 또한 $G$의 최대 토르스 $T$에 대해 ${}^{L}T_{\pm} \to {}^{L}G$의 표준 $L$-임bedding을 구성함으로써, Langlands 매개변수의 인수분해와 진정한 특성 및 특성 공식을 통한 초우주스피달 국지 Langlands 대응의 추측적 특성화를 가능하게 한다.

ABSTRACT

To a torus T over a local field F and a subset of its character module subject to certain properties, we associate a canonical double cover of the topological group T(F). We further associate an L-group to this double cover and establish a natural bijection between L-parameters valued in this L-group and genuine characters of the double cover. When T is a maximal torus of a connected reductive group G, we show that there is a canonical L-embedding from the L-group of the double cover of T to the L-group of G. This leads to a canonical factorization of Langlands parameters. We associate to a genuine character of the double cover subject to certain conditions a Harish-Chandra character formula and use it to give a conjectural characterization of the supercuspidal local Langlands correspondence for G, subject to a certain condition on p. This generalizes previous work of Adams and Vogan F=R, and reinterprets computations of Langlands and Shelstad.

연구 동기 및 목표

• 국소체 $F$ 상의 토르스 $T$의 $F$-유리점에 대한 표준 이중 쌍반사 $T(F)_{\pm}$를 구성하고, $\chi$-자료로부터 유도된 추가 구조를 갖추기.
• 이 이중 쌍반사에 관련된 $L$-군 ${}^{L}T_{\pm}$를 정의하여 Weil 형태의 $L$-군을 일반화하고 $\rho$-쌍반사의 프레임워크를 확장하기.
• ${}^{L}T_{\pm}$에 값이 있는 $L$-매개변수와 $T(F)_{\pm}$의 진정한 특성 사이의 자연스러운 전단사 사상 수립을 통해 표현론적 자료와 Langlands 매개변수를 연결하기.
• 재수정된 군 $G$의 최대 토르스 $T$일 때 ${}^{L}T_{\pm} \to {}^{L}G$의 표준 $L$-임bedding을 구성하여 Langlands 매개변수의 인수분해를 가능하게 하기.
• 진정한 특성 $T(F)_{\pm}$에 관련된 Harish-Chandra 특성 공식을 사용하여 초우주스피달 국지 Langlands 대응의 추측적 특성화를 제안하기.

제안 방법

• 이중 쌍반사 $T(F)_{\pm}$는 $\Sigma$-불변 부분집합 $R \subset X^*(T)$에 관련된 유도된 일치 차원의 비가역 토르스 $J_O$를 포함하는 표준 사상에 의한 피복으로 구성된다.
• 표준 $L$-군 ${}^{L}T_{\pm}$는 $\widehat{S} \leftarrow \prod \widehat{J}_O \to {}^{L}(\prod J_O)_{\pm}$의 쌍반사로 정의되며, 여기서 후자는 $\chi$-자료로부터 유도된 Tits 2-코호몰로지 족에 의해 변형된다.
• $T(F)_{\pm}$의 진정한 특성 $\chi_S$의 $L$-매개변수는 1차 코호몰로지에서의 Shapiro 사상에 의해, 각 $J_\alpha(F)_{\pm}$에서의 $\chi_\alpha$의 $L$-매개변수의 곱의 이미지로 얻어진다.
• Shapiro 동치를 사용하여 ${}^{L}T_{\pm}$에 대한 $L$-매개변수를 $C^1(W_{E_\pm}, \mathbb{C}^\times_{(-1)})$의 1-쇄와 연결하며, 이는 $\chi$-자료와의 호환성을 보장하는 표준 2-코호몰로지 족 $z$로 미분이 정의된다.
• ${}^{L}T_{\pm} \to {}^{L}G$의 $L$-임bedding은 $T$가 재수정된 군 $G$의 최대 토르스일 때 $\chi$-자료와 $L$-군의 Weil 형태의 구조를 사용하여 표준적으로 존재함을 보였다.
• 각 $T(F)_{\pm}$의 진정한 특성에 대해 Harish-Chandra 특성 공식을 정의하였으며, 이 공식은 초우주스피달 Langlands 매개변수의 추측적 특성화를 위한 추적 항등식을 사용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 국소체 $F$ 상의 토르스 $T$의 $F$-유리점에 대한 표준 이중 쌍반사 $T(F)_{\pm}$를 $\chi$-자료와 함께 구성하고, 이에 호환되는 $L$-군 ${}^{L}T_{\pm}$를 갖출 수 있는가?
• RQ2 ${}^{L}T_{\pm}$에 값이 있는 $L$-매개변수와 $T(F)_{\pm}$의 진정한 특성 사이에 자연스러운 전단사 사상이 존재하는가?
• RQ3 $T$가 재수정된 군 $G$의 최대 토르스일 때 ${}^{L}T_{\pm} \to {}^{L}G$의 표준 $L$-임bedding이 존재하는가?
• RQ4 진정한 특성 $T(F)_{\pm}$에 관련된 Harish-Chandra 특성 공식을 사용하여 초우주스피달 표현의 국지 Langlands 대응을 특성화할 수 있는가?
• RQ5 ${}^{L}T_{\pm}$는 실수 경우의 Adams-Vogan의 $\rho_i$-쌍반사 및 $E$-군 구성과 어떻게 관련되어 있으며, 이를 $p$-진 수체로 일반화하는가?

주요 결과

• 모든 국소체 $F$ 상의 토르스 $T$에 대해 $\chi$-자료와 $J_O$로 분해된 유도된 일치 차원의 비가역 토르스를 사용하여 표준 이중 쌍반사 $T(F)_{\pm}$를 구성하였다.
• ${}^{L}T_{\pm}$는 $\widehat{S} \leftarrow \prod \widehat{J}_O \to {}^{L}(\prod J_O)_{\pm}$의 쌍반사로 정의되며, 이는 $\chi$-자료에서 유도된 Tits 족에 의해 변형된다.
• ${}^{L}T_{\pm}$에 값이 있는 $L$-매개변수와 $T(F)_{\pm}$의 진정한 특성 사이에 자연스러운 전단사 사상이 존재하며, 이는 1차 코호몰로지에서의 Shapiro 동치를 통해 실현된다.
• $T$가 재수정된 군 $G$의 최대 토르스일 때 ${}^{L}T_{\pm} \to {}^{L}G$의 표준 $L$-임bedding이 존재하여 Langlands 매개변수의 인수분해를 가능하게 한다.
• 각 $T(F)_{\pm}$의 진정한 특성에 대해 Harish-Chandra 특성 공식을 정의하였으며, 이 공식은 잔류 특성 $p$에 대한 조건 하에서 초우주스피달 국지 Langlands 대응의 특성화를 추측한다.
• 이 구성은 Adams-Vogan의 $\rho_i$-쌍반사를 $p$-진 수체로 일반화하며, $L$-군과 진정한 특성에 기반한 국지 Langlands 대응의 통일된 프레임워크를 제공한다.